Формули. По-перше, це красиво

В 2014 році британські вчені провели експеримент — запропонували математикам оцінити естетичну красу півсотні різних формул, спостерігаючи за реакцією їх мозку за допомогою функціональної магнітно-резонансної томографії (fMRI). У ході спостереження нейробіологи помітили, що перегляд деяких формул викликає відгук в префронтальній корі головного мозку, яка відповідає за складні когнітивні функції і емоції. Виявилося, що сприйняття краси формул дуже схоже на емоції, що виникають під час перегляду творів живопису або прослуховування музики.



Пропонуємо вам поглянути на підбірку красивих (і не дуже) на думку математиків формул, а в кінці публікації — невеликий бонус.

Читати далі →

Алгоритм знаходження еквівалентних точок осі абсцис функції многочлена


Шановні хабровчане, вітаю! Продовжуємо цикл навколоматематичних статей, попередня розташована тут. Нагадаю, що я лише дилетант математики, що займається її морально-естетичної стороною, і мої ідеї можуть здатися вам нецікавими/марними/etc. Отже:
Для початку вірним кроком буде введення аксіоматики на рахунок терміна «еквівалентності» в даному контексті:
  • Якщо деяка координата осі абсцис imageз числового безлічі задовольняє наступній умові:
    image
    Вважається, що image(imageеквівалентна image)
Така аксіоматика в рамках цієї статті зручності заради, і, строго кажучи, не зовсім коректна.
І відразу б непогано відповісти на традиційне питання: «вибачте, а навіщо це треба?». Відповідаю — як мінімум, для пошуку інших коренів рівняння многочлена (перейшовши від рівняння до функції), знаючи лише один корінь. А також різноманіття менш очевидних речей. Зараз ми і займемося вирішенням цього завдання, а потім приведемо алгоритм у загальному вигляді. Для зацікавлених милості прошу під кат.
Читати далі →

Хаос всередині судоку

Багато хто з вас напевно знайомі з такою головоломкою, як судоку. Можливо, навіть реалізовували програму для автоматичного рішення. На хабре тема судоку обговорювалася вже безліч разів, і, як показує практика, практично будь-який спосіб автоматичного знаходження відповіді в підсумку зводиться до спрямованого перебору. І це цілком природно, адже навіть ручні рішення дотримуються тих же принципів. Але що, якщо вчинити інакше?
У даній статті я розгляну один дуже цікавий метод, запропонований у 2012 році, заснований на строго математичному підході. Програмна реалізація додається.


Читати далі →

Спектроскоп Салтана: лапласианы для фана

Різдвяні дні — час відкласти звичні справи і згадати забави — калейдоскопи, мозаїки, сніжинки… Хто намалює найкрасивішу зірку?

Симетрія радує око. Створити красу нам допомогли математика лапласианов, мову Пітон і його бібліотеки — математичний numpy і графічний matplotlib.

Спектри неможливих решіток
КДПВ отримана візуалізацією значень власних векторів якоїсь симетричної матриці.
В основі — спектри регулярних решіток. Ми вже розглядали деякі їх властивості раніше. Тут ми спробуємо формулами не зловживати, а змусити їх працювати на естетику.

Читати далі →

Поле Галуа на Scala

Введення
У цій статті буде розглянута тема побудови і роботи з кінцевими полями (або полями Галуа), які використовуються у криптографії, теорії інформації та кодування та інших науках, тобто мають широке практичне застосування.
Суху теорію про групах/кільцях/полях можна прочитати за посиланням Поля Галуа, а тут буде більше практики і реалізації на мові Scala.

Типи і обмеження
Для початку слід обговорити технічні проблеми пов'язані з поданням поліномів в пам'яті, з урахуванням розмірів типу Int у мові Scala. Вимоги сформульовані у списку нижче.
  • Тип Int Scala/Java має розмір 32 біта
  • можна Використовувати біти: 0..30 — 31, оскільки 32-ий біт є знаковим
  • Поліноми мають бути представлені числами в діапозоні 0..29
  • Непріводімие поліноми (або модулі) мають діапозон 1..30
  • Кінцеве поле має елементів


Реалізація
Спочатку опишемо клас Поліноміальні, який реалізує поліном і 4 операції.
Цей вид полінома є «напівфабрикатом» і не прив'язаний до кінцевого поля.

Читати далі →

Алгоритм для секретного призначення дарувальників Secret Santa


Привіт, Хабр! У цій статті я наведу простий алгоритм, що дозволяє групі з N чоловік таємно згенерувати кожному з учасників групи номер іншого учасника — обдаровуваного — для обміну подарунками на Новий рік у заході Таємний Санта (Secret Santa).
Насамперед, що таке Таємний Санта? Стаття у Вікіпедії розповідає це краще за мене, я лише коротко скажу, що це церемонія, яка прийшла до нас із Заходу, в якій група людей сговаривается подарувати на Новий рік один одному подарунки таким чином, що кожен з учасників дарує і отримує по одному подарунку, при цьому кожному не відомий його дарувальник, але відомий обдаровуваний (звідси "таємний Санта"). Вартість подарунків зазвичай обумовлюється заздалегідь, щоб усі подарунки були приблизно рівноцінні. При бажанні можна умовитися, що після того, як обмін подарунками відбудеться, дарувальники розкриються.
Свій "Таємний Санта" є і на Хабрахабре під назвою "Клуб Анонімних Дідів Морозів".
На жаль, для організації Таємного Санти просто згенерувати список пар дарувальник-обдаровуваний недостатньо. Дарування має відбуватися анонімно, і кожен учасник повинен знати тільки номер обдаровуваного і ні бітом більше інформації про інших учасників, тому, наприклад, не можна просто доручити одному з учасників згенерувати список і повідомити кожного залишився учаснику його обдаровуваного — той, хто створив список, буде знати все про всіх, в тому числі і свого дарувальника.
Читати далі →

Необчислювані функції на прикладі Busy Beaver Game


IT технології проникли у більшість сфер життя людини і продовжують розвиватися. Автопілот, банківська сфера, машинний переклад, медицина, фінансові ринки, польоти в космос — все це можливо завдяки одній простій ідеї.
У цій статті я пропоную зазирнути за межі можливостей комп'ютерів і розглянути чого ж вони не можуть. І чому. Алан Тьюринг ще в 30-ті роки позначив неможливі для комп'ютера завдання.
Читати далі →

Гігантська компонента: гачки для риболовлі, скупчення галактик, молекулярна біотехнологія, наноматеріали

Займаючись перекладами Батога, я натрапив на згадку дуже цікавого властивості нашого всесвіту. Народження гігантської компоненти. Кожен зустрічався з цим феноменом. Я, наприклад, пам'ятаю коробочки з рибальськими гачками. Коли гачків було 5-15 все нормально, але є певна критична маса, після якої виходив єдиний клубок. Інтуїтивно я відчуваю, що це дуже важливий феномен, який проявляється у багатьох дисциплінах — від теорії інформації, до молекулярної хімії і біотехнології. Пропоную вашій увазі переклад легкої і наочної статті на цю тему. Слово Brian Hayes.

image

Непотрібним продуктом мого проекту, скануючого документи, є купа вилучені скоб.

Днями я зробив відкриття: якщо ви візьміть одну з викинутих скоб і підніміть її, цілий клубок сплутаного понівеченого металу підніметься слідом за нею, залишаючи лише пару скоб на дні чаші. Коли я це помітив, я спочатку подумав «Хм, це забавно». Потім «О, звичайно: Erdős-рен ' ї». А третин думкою… ну я все ще працюю над нею, а ще над четвертою, п'ятою і шостою.

Читати далі →

Математика в JavaScript


Введення
Наявність чисел і числових даних дозволяє вам якимось чином працювати з мовою. Але крім роботи з арифметичними операторами в JavaScript, математичні конструкції можуть бути складним завданням для новачків. З цієї причини, потрібно концентруватися не на синтаксисі, а на загальних математичних функціях, цей список починається з таких речей як сортування, округлення і генерація випадкових значень, цього достатньо, перш ніж заглиблюватися в деталі. Щоб працювати з математикою в JavaScript вам достатньо мати поняття про такі речі як функція, оператор і оператор.

Від перекладача
Всім привіт, з вами Максим Іванов, і сьогодні я вирішив, що ми не будемо говорити про модні і корисних штуках типу ReactJS, Angular, TypeScript та інших. Сьогодні ми приділимо увагу математики в JavaScript. Якщо вам подобається математика, ви можете займатися їй весь вільний час, але якщо вашою метою є не наукові дослідження, а робота програмістом, математика навряд чи стане кращим об'єктом для вивчення.

Читати далі →

Прийоми взяття складних інтегралів

Інтеграли, що може бути веселіше? Ну, можливо не для всіх, але все ж, я вже давно нічого не постив такого суто математичного, так що спробую. Цей пост – про те як брати «складні» інтеграли. Цей піст передбачає що читач навчався таки в школі і знає тривіальні підходи (наприклад, інтегрування по частинах). B пості ми будемо обговорювати тільки інтеграли Рімана, a не інтеграли Лебега-Стилтьеса, Іто, Скорохода і так далі (хоча я б із задоволенням, чесслово).
Весь цей пост   маленька вибірка рецептів або «патернів» які можна взяти в скарбничку і потім застосовувати. Пост рекомендується читати на high-DРI дисплеї щоб запобігти очне кровотеча. Я попередив.

Читати далі →