Метод функцій Ляпунова в задачі про ефект Джанібекова

Введення
Дана стаття не має відношення до циклу «Магія тензорною алгебри», але викликана до життя публікаціями з нього. Недбало клацаючи по посиланнях в пошуковику набрів на обговорення одній зі своїх статей, присвячених ефекту Джанібекова, і звернув увагу на справедливе зауваження про те, що дослідження стійкості гайки Джанібекова по першому наближенню не дає однозначної відповіді на питання про те, при яких параметрах рух буде стійким. Це так, оскільки корені характеристичного полінома, при обертанні навколо осі з найменшим і найбільшим моментом інерції чисто уявні, їх дійсна частина дорівнює нулю. При таких умовах не можна відповісти на питання, чи буде рух стійким, не провівши додаткового дослідження.

Інтерпретація Мак-Куллага — напевно найпростіше пояснення ефекту Джанібекова


Таке дослідження можна виконати використовуючи метод функцій Ляпунова (другий або прямий метод Ляпунова). І щоб остаточно закрити питання з гайкою Джанібекова, я вирішив написати цю замітку.

Читати далі →

Магія тензорною алгебри: Частина 17 — Замальовка про гайці Джанібекова

Дана стаття присвячується світлій пам'яті мого вчителя, доктора технічних наук, професора Кабелькова Олександра Миколайовича, засновника і першого декана Фізико-математичного факультету ЮРГТУ (НПІ)

Введення

Дане відео ілюструє повторний експеримент — замість «баранчика» використовується якась саморобна дурниця


Це сталося в 1985 році, на орбітальній станції «Салют-7», під час відвідин її екіпажем корабля «Союз Т-13» в складі космонавтів Джанібекова Ст. А. і Савіних В. П. Не буду описувати своїми словами, процитувавши один з численних мережевих джерел
Коли космонавти розпаковували доставлений на орбіту вантаж, то їм доводилося відкручувати так звані «баранчики» – гайки з вушками. Варто вдарити по вушка «баранчика», і він сам розкручується. Потім, розкрутившись до кінця і зіскочивши з різьбового стержня, гайка продовжує, обертаючись, летіти по інерції в невагомості (приблизно як летить обертається пропелер). Так ось, Володимир Олександрович зауважив, що пролетівши приблизно 40 сантиметрів вушками вперед, гайка раптом здійснює раптовий переворот на 180 градусів і продовжує летіти в тому ж напрямку, але вже вушками тому і обертаючись в іншу сторону. Потім, знову пролетівши 40 сантиметрів, гайка знову робить перекид на 180 градусів і продовжує летіти знову вушками вперед, як в перший раз і так далі. Джанібеков неодноразово повторював експеримент, і результат незмінно повторювався. Загалом, обертається гайка, що летить в невагомості, робить різкі 180-градусні періодичні перевороти кожні 43 сантиметри. Також він пробував замість гайки використовувати інші предмети, наприклад, пластиліновий кулю з приліплену до нього звичайної гайкою, який точно так само, пролетівши деяку відстань, здійснював такі ж несподівані перевороти.
Думаю, що для початку цього цілком достатньо. Насправді, в «ефекті Джанібекова» немає нічого екстраординарного (хоча йому зараховують і можливу зміну полюсів Землі кожні 12000 років, та інші глобальні катаклізми). Використовуючи апарат тензорною алгебри і теорію стійкості механічного руху, спробуємо розібратися, що відбувається з загадковою гайкою.

Читати далі →