Дослідження якісних особливостей динаміки математичних моделей нелінійних неавтономних систем

Ю. А. Бичків, С. В. Щербаков

Дослідження якісних особливостей динаміки математичних моделей нелінійних неавтономних систем з допомогою власних чисел функціональної матриці Якобі

Постановка завдання
Завдання дослідження якісних особливостей динаміки математичних моделей нелінійних неавтономних систем з зосередженими параметрами надзвичайно актуальна. Розвиток теорії нелінійних явищ та отримані прикладні результати породжують різноманіття методів рішення цієї задачі [1-3].
У загальному випадку динаміку математичних моделей систем виділеного класу (надалі «систем») описує таке звичайне нелінійне інтегро-диференціальне рівняння з нестаціонарними коефіцієнтами:
$A(D)x(t)=G(D)f(t)+H(x,f,t) \qquad (1)$
де $D$ – оператор узагальненого диференціювання по незалежній змінній $t$; $A(D)$ – квадратна, близько $Lx$, матриця з поліноміальними від $D$ і $D^{-1}$ елементами, де $D^{-1}$ — оператор інтегрування за змінною верхньою межею $t$;
G(D) –прямокутна матриця розміром $L\_x\times L\_f$, з поліноміальними від $D$ і $D^{-1}$ елементами; $x(t)$ і $f(t)$ – матриці-стовпці координат системи (шуканих рішень) і зовнішніх впливів на неї відповідно; $H(x,f,t)$ – матриця-стовпець з рядками у вигляді сум творів, співмножники яких — нестаціонарні коефіцієнти, а також класичні похідні будь-якого порядку і інтеграли будь кратності, починаючи з нульових, від шуканих рішень і зовнішніх впливів, в довільних дробово-раціональних ступенях.

Розрахунок динаміки нелінійних неавтономних систем при заданих предначальных умовах $D^nx\_r(0^-)=D^nx\_r(t\_0^-)$, $r=1,2,...,L\_x$, $0^-=t^-\_0$, $n \in [0;M-1]$ зводиться до пошуку всіх існуючих в заданому інтервалі дослідження $[t\_0;T]$ розв'язків рівняння (1) і пов'язаний з рядом алгоритмічних і математичних проблем. Істота цих проблем визначає об'єктивне різноманіття якісних особливостей шуканих рішень.
У загальному випадку характер динаміки шуканих розв'язків рівняння (1) непередбачуваний, це зумовлено залежністю форм прояву домінуючих нелінійних і нестаціонарних властивостей системи від вибраних початкових умов, співвідношення параметрів і виду її характеристик. У загальному випадку показники шуканих розв'язків рівняння $(1)$ нерегулярні, зводячи динаміку системи до так званого детермінованого хаосу [2-4]. Характеризуючи її динаміку, зазначимо, що в шуканих рішення рівняння $(1)$ можливі розриви першого роду, в тому числі диференційовані, і розриви другого роду. Специфіка цих рішень у тому, що вони, як правило, пов'язана з «жорсткістю», тобто з чергуванням інтервалів швидкого і повільного зміни їх динамічних показників, причому в межах таких інтервалів можливі переходи від локальної стійкості до нестійкості і навпаки. Прямим наслідком локальної нестійкості служить ефект «перемішування» рішень, що значно ускладнює задачу чисельного розрахунку динаміки нелінійної неавтономної системи та аналізу її якісних особливостей [5]. Можливе якісне різноманітність особливостей динаміки нелінійної неавтономної системи, будучи наслідком багатоскладового переплетення її координатно-параметричних взаємозв'язків, допускає лише наближене рішення рівняння $(1)$ з використанням того чи іншого чисельного методу [6-8]. Чисельних методів багато і їх розрахункові схеми постійно удосконалюються. Тим не менш, ні один з них не дозволяє встановити в замкнутій формі якісь або закономірності взаємозв'язку між характером поведінки шуканого розв'язку рівняння $(1)$ і інформаційними показниками цього рівняння. Завдання виділення таких взаємозв'язків і організація на їх основі подальшого аналізу якісних особливостей і властивостей розв'язків рівняння $(1)$ є важливою як у теоретичному, так і в прикладному плані. Її рішення означає черговий крок до розуміння змісту причинно-наслідкових співвідношень в нелінійних і нестаціонарних явищах.
У статті дано рішення поставленої задачі на основі використання в якості інформаційних показників динаміки нелінійної неавтономної системи власних чисел відповідає рівнянню динаміки $(1)$ функціональної матриці Якобі та декомпозиції за таким власним числам рішень цього рівняння. В якості розрахункової основи використаний аналітично-чисельний метод, який за своїм обчислювальних характеристик відповідає поставленому завданню [9,10]. Наведено ілюструє приклад.
Виділення інформаційних показників динаміки нелінійної неавтономної системи
До складу інформаційних показників якісних особливостей шуканих розв'язків рівняння $(1)$ доцільно включити такі, які визначають взаємодію параметрів цього рівняння і нестаціонарних показників самих рішень. У лінійної стаціонарної системи, динаміку якої описує рівняння $(1)$ при $H(x,f,t)=const$, такими інформаційними показниками служать коріння $ \lambda\_n , n=1,2,...,N$ наступного характеристичного рівняння:$A(p)=0 \qquad (2) $
де $A(p)$ — визначник матриці $A(D)$, при заміні оператора $D$ на оператор $p$.
Характер і чисельні значення коренів рівняння $(2)$, визначають усі особливості і властивості лінійної динаміки автономної системи в перехідному процесі, включаючи стійкість і «жорсткість» [1,7,8]. Так як зовнішні впливи однозначно регламентують характер встановленого режиму, то динаміка лінійної автономної системи повністю передбачувана в полубесконечном інтервалі часу.
Спрямований вибір подібних інформаційно ємних і досить простих у визначенні показників динаміки нелінійних неавтономних систем поки неможливий. Нагальні запити практики, однак, вимагають вже зараз виділення доступних для обчислення і прийнятних за інформаційним змістом показників таких систем. Якщо піти по тому ж шляху, що і для лінійного випадку, то логічно пропозицію про розгляд в якості необхідних інформаційних показників коренів $ \lambda\_n , n=1,2,...,N$ рівняння $(2)$, формування якого буде пов'язано з обчисленням визначника $A(p)$ матриці $A(D)$ виділеної лінійної частини рівняння $(1)$. Трактування смислового змісту отримуваних при цьому інформаційних показників $ \lambda\_n , n=1,2,...,N$ неоднозначна оскільки взаємозв'язок цих виділених стаціонарних по суті показників з якісними особливостями динаміки нелінійної неавтономної системи не піддається якій-небудь змістовної ідентифікації навіть постановочно. Крім того, коли в рівнянні $(1)$ матриця $A(D)$ нульова або виділена за рахунок нелінійної частини $H(x,f,t)$ цього рівняння, корені рівняння $(2)$ взагалі відсутні або їх існування, а отже і інформаційне наповнення, носить умовно-суб'єктивний характер [9].
Таким чином, цільовим ознакою виділення прийнятних інформаційних показників динаміки нелінійної неавтономної системи є умова їх існування і математична взаємозв'язок з числовими показниками шуканого розв'язку рівняння $(1)$. Ця умова може бути виконана, якщо в рівнянні $(1)$ матрицю лінійної частини $A(D)$ певним чином виділити або доповнити за рахунок матриці $H(x,f,t)$ нелінійної частини [9,10]. Таке виділення або доповнення матриці $A(D)$ за рахунок матриці $H(x,f,t)$ можливо неоднозначним чином. Всі виконувані при цьому перетворення повинні мати еквівалентний характер, внаслідок чого динаміка системи залишиться незмінною. В результаті виділення або доповнення матриці $A(D)$ за рахунок матриці $H(x,f,t)$ буде досягнута необхідна математична взаємозв'язок коренів $ \lambda\_n , n=1,2,...,N$ рівняння $(2)$ з числовими значеннями шуканих розв'язків рівняння $(1)$ в дискретні моменти часу, обумовлені кроком чисельного розрахунку динаміки системи. Таким чином, у результаті зазначених перетворень рівняння $(1)$ коріння $ \lambda\_n , n=1,2,...,N$ рівняння $(2)$ придбають функціональну залежність від часу, як щодо числових показників, так і якісних характеристик.
Нестаціонарні властивості коренів $ \lambda\_n , n=1,2,...,N$ рівняння $(2)$, при відсутності цільового критерію виконання відповідних перетворень матриці $A(D)$, що призводять до появи таких властивостей, не можуть самі по собі гарантувати необхідних інформативних характеристик цих коренів. Бажане дослідження якісних особливостей динаміки нелінійних об'єктів диктує вибір в якості цільового критерію формування або перетворення вже існуючої матриці $A(D)$ рівняння $(1)$ умова її збігу з функціональною матрицею Якобі, що відповідає цьому рівнянню [4-8]. Алгоритм розв'язання такої задачі викладено в роботі [10]. В результаті формування або перетворення матриці $A(D)$ за рахунок матриці $H(x,f,t)$ до функціональної матриці Якобі нестаціонарні коріння $ \lambda\_n , n=1,2,...,N$ рівняння $(2)$ набудуть статусу власних чисел матриці Якобі.
Нестаціонарні власні числа $ \lambda\_n , n=1,2,...,N$ функціональної матриці Якобі рівняння $(1)$ в дискретні моменти часу, обумовлені його кроком чисельного рішення, мають певне відоме смисловий зміст [4-8]. Будучи характеристикою локальної динаміки нелінійної неавтономної системи, вони нескінченно малої околиці точки, що відповідає дискретному моменту часу t, що характеризують стійкість і швидкість зміни динамічних показників рішень її рівняння динаміки $(1)$. В околі особливих точок рівняння $(1)$ власні числа $ \lambda\_n , n=1,2,...,N$ функціональної матриці Якобі дозволяють на фазовій площині виділити області тяжіння і відштовхування фазових траєкторій, даючи таким чином прогноз щодо граничних станів існуючих рішень цього рівняння[6-8]. Відповідні дискретним моментам часу власні числа $ \lambda\_n , n=1,2,...,N$ функціональної матриці Якобі, характеризуючи і визначаючи якісні особливості і властивості динаміки нелінійних неавтономних систем, обумовлюють актуальність завдання виявлення математичних ознак та інформаційних показників такого взаємозв'язку. Рішення вказаної задачі пов'язане з встановленням математичної взаємозв'язку між вибраними нестаціонарними інформаційними показниками $ \lambda\_n , n=1,2,...,N$ динаміки нелінійної неавтономної системи та параметрами розрахункової схемою чисельного методу, використовуваного для розрахунку цієї динаміки. Необхідною умовою для досягнення зазначеної мети служить наявність в розрахунковій схемі обраного методу відповідної аналітичної частини. Обчислювальний алгоритм цієї аналітичної частини методу повинен бути узгоджений з особливостями розрахунку власних чисел функціональної матриці Якобі, а також забезпечувати математичну взаємозв'язок між цими числами і динамічним показниками координат нелінійної неавтономної системи. Сформульованим вимогам повною мірою відповідає однокроковий аналітично-чисельний метод змінного порядку [9,10].
Аналитически-чисельний метод розрахунку динаміки нелінійних неавтономних систем
Спонукальним мотивом до формування аналітично-чисельного методу послужило бажання уніфікувати рішення рівняння $(1)$ з використанням тільки тотожних перетворень. Звідси випливає опис шуканих рішень рядами Тейлора і подальше застосування інтеграла Лапласа для алгебраїзації поставленого завдання.
Аналітично-чисельний метод розрахунку динаміки виділеного рівнянням $(1)$ класу систем в заданому інтервалі дослідження $[t\_0;T]$ складається з двох частин: аналітичної та чисельної.
Аналітична частина методу заснована на апаратах узагальнених функцій, перетворення Лапласа та функціонально-степеневих рядів. Процедура аналітичній частині передує виконання кожного чергового кроку розрахунку і зводиться до наступного. Спочатку, розклавши функції, що описують зовнішні впливи і нестаціонарні параметри системи, відповідні їм степеневі ряди, а також формально описавши регулярні складові тих шуканих рішень, які входять у матрицю $H(x,f,t)$ рівняння $(1)$ відповідними їм степеневими рядами, праву частину цього рівняння перетворимо в матрицю-стовпець, елементами рядків якої тепер служать степеневі ряди. Коефіцієнти цих степеневих рядів у загальному випадку невідомі, оскільки вони виражені через відомі коефіцієнти степеневих рядів для зовнішніх впливів і нестаціонарних параметрів системи, і невідомі коефіцієнти степеневих рядів для регулярних складових деяких з шуканих рішень. Виконана операція призводить вихідне рівняння $(1)$ до виду, необхідного для подальшого застосування інтегрального перетворення Лапласа. Перетворивши по Лапласу переформированное рівняння $(1)$ і вирішивши отримане в результаті алгебраїчне рівняння за правилом Крамера, для зображення $X\_l(p)$ шуканого рішення $ x\_l(t),l \in [1,L\_x] $ одержимо наступне вираз:
$ X\_l(p)= \frac{B^l\_l(p)}{A(p)}=\frac{\sum\limits\_{i=0}^\infty B^l\_{l.N+J\_l-i}p^{N+J\_l-i}}{\sum\limits\_{i=0}^NA\_{i}p^i}, \qquad (3) $
де $ N \in \mathbb N; J\_l \in \mathbb Z $
Дробово-раціональна функція, що описується виразом (3), в загальному випадку, коли $J\_l \geq 0$ є неправильною і допускає її подання у вигляді суми цілої раціональної $X\_l^-(p)$ і правильної дробово-раціональної $X\_l^+(p)$ функцій. Подальше розкладання правильної дробово-раціональної функції $X\_l^+(p)$ в ряд Лорана в околі нескінченно віддаленої точки перетворює вираз $(3)$ наступним чином: $ X\_{l} (p)=X\_{l}^{-} (p) + X\_{l}^{+} (p)=\ \sum \_{j=0}^{-J\_{l} }S\_{l.j} p^{j} + \frac{\sum\limits \_{i=1}^{\infty }B\_{l.N-i} p^{N-i} }{\sum\limits \_{i=0}^{N}A\_{i} p^{i} } = \\\\ =\sum \_{j=0}^{-J\_{l} }S\_{l.j} \; p^{j} \; +\; \frac{\sum\limits \_{i=0}^{\infty }B\_{l.N-i-1} \; \; p^{N-i} }{\sum\limits \_{i=0}^{N}A\_{i} \; p^{i} } \; \; \frac{1}{p}= \\\\ =\sum \_{j=0}^{-J\_{l} }S\_{l.j} \; p^{j} \; +\; \sum \_{i=0}^{\infty }R\_{l.i} \; p^{-(i+1)}. \qquad (4)$
Коефіцієнти $S\_{l.j} $, $B\_{l.N-i}$, $R\_{l.i}$, що входять у вираз $(4)$, з урахуванням позначень вираження $(3)$, обчислюємо за такими формулами [9,10]:
$ S\_{l.\; -J\_{l} } =\frac{B^l\_{l.N+J\_{l} }}{A\_{N\; } };$
$ S\_{l.\; -J\_{l} +j} =\frac{B^l\_{l.N+J\_{l} +j} -\sum\limits \_{k=0}^{j-1}S\_{l.-J\_{l} +k} \; A\_{N-j+k\; } }{A\_{N}} $
,
де $j=1,2,...,J\_{l};$
$ B\_{l.N-i} =B^l\_{l.N-i} -\; \sum \_{k=0}^{N-i}S\_{l.-N+i+k} \; A\_{k} $
де $i=1,2,...;S\_{l.-r} =0,$ якщо $r>J\_l;$ $ \begin{align} &{R\_{l.0} =\frac {B\_{l.N-1}}{A\_{N}} ;} \\& {R\_{l.i} =\frac{B\_{l.N-1-i} -\sum\limits \_{k=0}^{i-1}R\_{l.k} \; A\_{N-i+k} }{A\_{N}} ,} \end{align} \qquad (5)$
де $i=1,2,...$

Члени суми в правій частині останнього з рівностей $(4)$ утворюють відповідно головну і правильну частини ряду Лорана для зображення $X\_{l} (p)$ шуканого рішення$x\_{l} (t),l\in [1; L\_{x} ]$в околі нескінченно віддаленої точки. Оригіналом для зображення$X\_{l} (p)$ служить узагальнена функція $x\_{l} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$, містить сингулярную$x\_{l}^{-} (t)$ і регулярну $x\_{l}^{+} (t)$складові.
Отже, після виконання аналітичної частини методу для шуканого рішення$x\_{l} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$рівняння $(1)$ отримаємо наступне опис: $x\_{l} (t)=x\_{l}^{-} (t)+x\_{l}^{+} (t)=\sum \_{j=0}^{-J\_{l} }S\_{l.j} \; {\rm \delta }\_{j} (t)+\sum \_{i=0}^{\infty }R\_{l.i} \; t^{i} /i!\; , \qquad (6)$
де ${\rm \delta }\_{j} (t)$ — імпульсні функції від нульового до $inline$-J\_{l} $inline$-го порядку включно, визначені в початковій для розглянутого інтервалу розрахунку точки; $S\_{l.j} $ — вагові коефіцієнти імпульсних функцій; $R\_{l.i} $ — коефіцієнти розкладання регулярної складової рішення $x\_{l}^{+} (t)$в степеневий ряд в правій околиці початкової для розглянутого інтервалу розрахунку точці з абсцисою $t=0^{+} $[9,10].

Отримана форма $(6)$ описи шуканого рішення $x\_{l} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$відображає ряд принципових моментів, пов'язаних з аналізом якісних особливостей динаміки нелінійних неавтономних систем. Застосування інтегрального перетворення Лапласа дозволяє в точці, що відповідає початку поточного інтервалу розрахунку, здійснити коректний перехід від відомих предначальных умов для підлягає визначенню початковим умовам і виділити в шуканих рішення рівняння $(1)$ розриви першого роду, якщо вони існують. Присутність в описі $(6)$ сингулярної складової $x\_{l}^{-} (t)$ вказує на можливість виділення існуючих диференціюється розривів першого роду. Зазначимо, що сингулярная складова рішення $x\_{l}^{-} (t)$, якщо вона існує, доступна для визначення в дискретний момент часу, відповідний початку поточного кроку розрахунку, в аналітичній частині методу.

Регулярна складова рішення $x\_{l}^{+} (t)$, як випливає з опису $(6)$, представлена статечним рядом і для її обчислення в поточному інтервалі розрахунку служить чисельна частина методу. В основі чисельної частини методу лежить значення незалежної змінної $t$. У поточному інтервалі розрахунку${\rm \; [}t\_{k-1} ;\; t\_{k} ]{\rm \; },{\rm \; }t\_{k} =t\_{k-1} +h\_{k} $ реалізація чисельної частини методу починається з вибору відповідної величини кроку $h=h\_{k} $. Цей вибір регламентований наступним рівністю [9,10]:$h=q{\rm \tau ,} \qquad (7)$
де $0<q<1.$
Гранична величина $\tau$ довжини поточного кроку розрахунку $h$, що входить в рівність $(7)$, є результат дослідження збіжності в поточному інтервалі розрахунку числових мажорант степеневих рядів для регулярних складових $x\_{r}^{+} \left(t\right)$ шуканих рішень $x\_{r} (t){ r}=1,2,{\dots},L\_{x}$. Довжина поточного кроку розрахунку $h=h\_{k} $, обрана у відповідності з рівністю $(7)$, така, що забезпечує виконання ряду значущих умов для аналізу якісних особливостей динаміки нелінійних неавтономних систем.

По-перше, в поточному інтервалі розрахунку ${\rm \; [}t\_{k-1} ;\; t\_{k} ]{\rm \; },{\rm \; }t\_{k} =t\_{k-1} +h\_{k} $ всі степеневі ряди для регулярних складових рішень $x\_{r}^{+} \left(t\right)$ сходяться до розкладеним на них функцій, перетворюючись в ряди Тейлора. Це вказує на існування в розглянутому інтервалі часу шуканих рішень $x\_{r}^{+} \left(t\right)$, надаючи всієї обчислювальної процедури логічний зміст і практичну доцільність.

По-друге, обрана згідно рівності $(7)$ величина кроку розрахунку $h=h\_{k} $ забезпечує чисельну стійкість процедури обчислення в дискретний момент часу $t=t\_{k}$ наближеного значення $x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} )$ регулярної складової$x\_{l}^{+} (t)$шуканого рішення $x\_{l} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$. Розрахунок наближеного значення рішення $x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} )$ пов'язаний з обмеженням ряду Тейлора для регулярної складової рішення $x\_{l}^{+} (t) $ частковою сумою його перших $I\_{l} $ членів. Виникаючий при цьому залишковий член ряду, утворюючи локальну похибку розрахунку, завжди обмежений і доступний для верхньої оцінки з допомогою формул, наведених у роботах [9,10].

У третіх, довжина кроку $h=h\_{k} $ завжди відповідає швидкості зміни регулярних складових $x\_{r}^{+} \left(t\right)$ шуканих рішень. Такий результат забезпечується організацією дослідження збіжності степеневих рядів для регулярних складових рішень $x\_{r}^{+} \left(t\right)$ шляхом розгляду відповідних їм числових мажорант. Їх члени утворені різноманітними комбінаціями цих коефіцієнтів степеневих рядів, що визначають значення похідних кінцевих порядків від цих складових рішень в дискретний момент часу $t=t\_{k-1}$.

В четвертих, що відповідає рівності $(7)$ величина кроку розрахунку $h=h\_{k}$ така, що дозволяє організувати процедуру верхньої оцінки $|\Delta x\_{l}^{+} (t;{\rm \; }I\_{l} ){\rm |}t=t\_{k}$ повної абсолютної похибки обчислення наближеного значення $x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} )$ регулярної складової $x\_{l}^{+} (t)$ шуканого рішення $x\_{l} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$. Під повною погрішністю розрахунку розуміємо похибка, накопичену після виконання двох і більше кроків розрахунку, на кожному з яких виникає локальна похибка розрахунку.

Отже, вибравши згідно з рівністю $(7)$ величину поточного кроку розрахунку $h=h\_{k} $ і обмеживши ряд Тейлора для регулярної складової рішення $x\_{l}^{+} (t)$ частковою сумою його перших $I\_{l} $ членів, обчислюємо наближене значення $x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} ), t\_{k}=t\_{k-1}+h\_{k}$ цієї складової рішення. Потім, оцінивши на поточному кроці $h=h\_{k} $ локальну похибку розрахунку, обчислюємо верхню оцінку $|\Delta x\_{l}^{+} (t;{\rm \; }I\_{l} ){\rm |}, t=t\_{k}$ повної похибки розрахунку. Отримані таким чином чисельні результати дозволяють в дискретний момент часу $t=t\_{k}$ виділити на осі ординат одновимірний інтервал, який містить невідоме точне значення $x\_{l}^{+} (t\_{k} )$ регулярної складової $x\_{l}^{+} (t)$ шуканого рішення. У прийнятих позначеннях цей інтервал в дискретний момент часу $t=t\_{k}$ описує наступне подвійне нерівність:$ x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} )\; -|\Delta x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} ){\rm |}\le x\_{l}^{+} (t\_{k} )\le x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} )+|\Delta x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} ){\rm |}.\qquad (8)$
Рівність $(6)$ і подвійне нерівність $(8)$ описують результати обчислювальної процедури аналітично-чисельного методу на поточному кроці розрахунку $h=h\_{k}$. Для виконання наступного кроку розрахунку в заданому інтервалі дослідження ${\rm \; [}t\_{0} ;\; T]$ вісь ординат переносимо вправо на величину $h\_{k} $. Після цього, вибравши з подвійних нерівностей $(8)$, при $l=r, r=1,2,{\dots},L\_{x}$ будь-які наближені значення предначальных умов, повторюємо описані процедури аналітичної та цифрової частин методу.

### **Встановлення взаємозв'язку інформаційних показників динаміки нелінійної неавтономної системи і параметрів розрахункової схеми аналітично-чисельного методу.**
Аналіз виразу $(3)$ з урахуванням рівняння $(2)$ показує, що досягнення зазначеної мети можливе шляхом встановлення математичної взаємозв'язку між полюсами ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ зображення $X\_{l} (p)$ шуканого рішення $x\_{l} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$ і динамічними показниками якісних особливостей і властивостей регулярної складової $x\_{l}^{+} (t)$ цього рішення. В якості таких динамічних показників регулярної складової рішення $x\_{l}^{+} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$ логічно і змістовно мотивовано розгляд коефіцієнтів $R\_{l.i} $, що входить в опис $(6)$ степеневого ряду. Розрахунок коефіцієнтів $R\_{l.i} $ виконуємо в аналітичній частині методу за допомогою рекурентних формул $(5)$. Перетворення цих формул із залученням матричного аналізу призводить до їх новій формі запису, яка встановлює в явному вигляді необхідну математичну взаємозв'язок між коефіцієнтами $R\_{l.i} $ регулярної складової рішення $x\_{l}^{+} (t)$ і полюсами ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ зображення $X\_{l}^{+} (p)$ цієї складової. Нові формули для обчислення коефіцієнтів $R\_{l.i} $наведено в роботі [8]. Так, наприклад, коли всі полюси${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ зображення $X\_{l}^{+} (p)$ прості, формула для обчислення коефіцієнтів $R\_{l.i} $ має наступний вигляд[8]:$R\_{l.i} =\sum \_{n=1}^{N}r\_{l.n} \; \lambda \_{n}^{i} \; ,\; \; i\in \ge \left|{\bf Z}\right|. \qquad (9)$
Коефіцієнти $r\_{l.n} $ в цьому випадку обчислюємо за формулою:
$r\_{l.n} =\frac{\sum\limits \_{m=1}^{i}B\_{l.N-1-m}^{\*} \; \lambda \_{n}^{m} \; }{N+\sum\limits \_{m=1}^{N-1}(N-m)\ A\_{N-m}^{\*} \; \lambda \_{n}^{m} } . \qquad (10) $
Коефіцієнти $B\_{l.N-1-m}^{\*} ,\; \; m\in \left|{\bf Z}\right|$ і $A\_{r}^{\*} ,\; \; r=1,2,...,N-1$ формулою $(10)$ пов'язані з коефіцієнтами $B\_{l.N-1-m}^{} \; ,\; \; A\_{r} $, що входять у вираз $(4)$, наступними співвідношеннями:
$\begin{align}&{B\_{l.N-1-m}^{\*} =\frac{B\_{l.N-1-m}}{A\_{N}} \; ;} \\\\ &{A\_{r}^{\*} =\frac{-A\_{r} }{A\_{N}} \; .} \end{align}$
Формула $(9)$ дозволяє записати входить в опис $(6)$ степеневий ряд для регулярної складової $x\_{l}^{+} (t)$ шуканого рішення в цьому випадку в такій новій формі[8]:$x\_{l}^{+} (t)=\sum \_{i=0}^{\infty }\frac{R\_{l.i} \; t\_{}^{i}}{i!}=\sum \_{i=0}^{\infty }\sum \_{n=1}^{N\_{m} }\frac{R\_{l.i}^{[n]} t\_{}^{i} }{i!},\qquad (11)$
де $N\_{m} $ — число, в цьому випадку простих, полюсів зображення $X\_{l}^{+} (p)$.

Сформоване опис $(11)$ обумовлює для регулярної складової $x\_{l}^{+} (t)$ шуканого рішення $x\_{l} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$ наступне еквівалентне представлення:$x\_{l}^{+} (t)=\sum \_{n=1}^{N\_{m} }x\_{l}^{[n]} (t)\; . \qquad (12)$
Складові $x\_{l}^{[n]} $ при цьому мають наступний опис:$x\_{l}^{[n]} (t)=\sum \_{i=0}^{\infty }\frac{R\_{l.i}^{[n]} \; t\_{}^{i} }{i!}. \qquad (13)$
система взаємопов'язаних рівностей $(11)-(13)$ — це результат спрямованого перетворення вхідного в рівність $(6)$ вихідного опису регулярної складової рішення $x\_{l}^{+} (t)$. Згідно їй на кожному кроці розрахунку можлива декомпозиція цієї складової рішення з полюсів ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ її зображення$X\_{l}^{+} (p)$. Декомпозиція, як і слід було очікувати, не носить абсолютного характеру, оскільки через рекуррентно обчислені коефіцієнти $B\_{l.N-1-m}^{\*} ,\; \; m\in \left|{\bf Z}\right|$, що входять у формулу $(10)$, для нелінійної нестаціонарної системи завжди зберігається домінуюча у формуванні її динаміки взаємозв'язок між всіма елементами $(13)$ подання $(12)$. Декомпозиція регулярної складової $x\_{l}^{+} (t)$шуканого рішення $x\_{l} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$, що описується системою рівностей $(11)-(13)$, пройшла успішну апробацію при розв'язанні ряду спеціальних задач, пов'язаних з формалізацією процедури дослідження існування та єдиності рішення, вибору кроку розрахунку, а також при оптимізації обчислювальних витрат, пов'язаних з оцінкою абсолютної локальної похибки такого розрахунку [9].
Підсумовуючи, сформулюємо наступний алгоритм дослідження якісних особливостей динаміки нелінійних неавтономних систем. Спочатку виконуємо еквівалентне перетворення вихідного рівняння $(1)$ динаміки системи до виду, коли матриця $ А(D)$ співпаде з функціональною матрицею Якобі, тоді полюса ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ зображення $X\_{l}^{+} (p)$ співпадуть з власними числами цієї матриці. Подальша декомпозиція регулярної складової рішення $x\_{l}^{+} (t)$ по цих чисел забезпечить можливість організації розрахункової схеми для проведення необхідних досліджень. У ролі нестаціонарних інформаційних показників якісних особливостей динаміки системи розглядаємо функції, які описують зміну в заданому інтервалі дослідження ${\rm \; [}t\_{0} ;\; T]$ власних чисел ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ функціональної матриці Якобі і елементів $(13)$ декомпозиції $(12)$ регулярної складової рішення $x\_{l}^{+} (t)$. Пропонована схема декомпозиції шуканих розв'язків рівняння $(1)$ по власними числами що відповідає цьому рівнянню функціональною матрицею Якобі неординарна сама по собі. Це визначає новизну очікуваних результатів, їх трактування та подальші перспективи застосування. Позначимо лише деякі з них, оскільки повнота суджень про такий проблематики — це питання часу.
Знаки дійсних частин нестаціонарних власних чисел ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ функціональної матриці Якобі в кожний дискретний момент часу $t=t\_{k}$ обумовлюють можливість виділення меж інтервалів стійкості і нестійкості щодо кожного з елементів $(13)$ декомпозиції $(12)$. Така інформація є первинною для виявлення причинно-наслідкових зв'язків між умовами стійкості регулярної складової рішення $x\_{l}^{+} (t),l\in [1;\; L\_{x} ]$ і подібними умовами для самих елементів $(13)$ цієї складової. Умови стійкості або нестійкості регулярної складової $x\_{l}^{+} (t)$ шуканого рішення $x\_{l} (t)$ при цьому стануть наслідком існування серед нестаціонарних власних чисел ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ функціональної матриці Якобі одного або декількох домінуючих, а також від особливостей взаємодії цих домінуючих чисел в інтервалі дослідження, включаючи варіацію їх характеру.
Динамічні показники елементів декомпозиції $(13)$ у взаємозв'язку з нестаціонарними власними числами ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ функціональної матриці Якобі визначають вихідні положення для іншого трактування результату розрахунку динаміки нелінійної неавтономної системи, описуваного подвійним нерівністю $(8)$. Математична взаємозв'язок і співвідношення в ході розрахунку показників подвійного нерівності $(8)$ і подвійних нерівностей, подібних нерівності $(8)$, але для відповідних елементів декомпозиції $(13)$, при нерегулярності динамічних властивостей системи, служать підставою для виділення характерних співвідношень і сполучень між елементами декомпозиції $(13)$, при яких шукані рішення рівняння $(1)$ найбільш чутливі до зміни параметрів і зовнішніх впливів системи. Аналіз отриманих при цьому результатів обумовлює можливість виділення умов, що визначають виникнення біфуркації, або діапазонів початкових умов, що призводять до «перемішуванню» фазових траєкторій [5].
Якісні особливості і характерні властивості функцій, що описують зміну в заданому інтервалі дослідження ${\rm \; [}t\_{0} ;\; T]$нестаціонарних власних чисел ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ функціональної матриці Якобі, включаючи неперервність і монотонність цих функцій, наявність точок екстремумів, варіативність характеру таких чисел і знака їх речових частин, безсумнівно, відображають істоту внутрішніх причинно-наслідкових зв'язків рівняння $(1)$. Внаслідок цього особливості та властивості цих функцій представляють у вищій ступеня адаптивні показники якісних особливостей динаміки нелінійної неавтономної системи. Різноманіття змістовного спектру і варіативність форм проявів таких показників динаміки системи ще підлягають визначенню і це становить самостійну задачу, рішення якої, можливо, послужить відправною точкою для більш повного розуміння багатоскладового і неоднозначної поведінки нелінійного об'єкта дослідження. Виділення й класифікація співвідношень між зазначеними функціональними показниками і якісними особливостями нелінійної неавтономної системи повинна привести до появи нових обчислювальних алгоритмів аналізу нелінійних і нестаціонарних явищ, включаючи визначення умов існування динаміки регулярного характеру або переходу до детермінованого хаосу [2-5].
Висновок
Описується системою рівностей $(11)-(13)$ декомпозиція регулярних складових шуканих розв'язків рівняння $(1)$ вводить в розгляд і активізує в якості самостійного обчислювального інструментарію аналізу динаміки нелінійної неавтономної системи власні числа функціональної матриці Якобі. Вони генерують особливості та динамічні властивості елементів декомпозиції $(13)$. Як показано в наведеному нижче прикладі, аналіз таких особливостей і динамічних властивостей елементів декомпозиції $(13)$ приводить до виділення нових умов існування одного з характерних властивостей нелінійної динаміки — «жорсткості» [1,4,5].
Узагальнюючи сказане, зазначимо, що варіантів проявів якісних особливостей та характерних властивостей нелінійної динаміки багато, вони різнопланові за умовами виникнення, так і за формами проявів. Нерегулярність, як властивість такої динаміки, — це скоріше норма, ніж виняток [2]. Причини настільки складною і непередбачуваною динаміки нелінійної неавтономної системи закладені в структурі та складі внутрішніх параметричних взаємозв'язків рівняння динаміки $(1)$. Однією зі складових комплексного показника таких взаємозв'язків, безсумнівно, є власні числа ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ функціональної матриці Якобі. Аналіз якісних особливостей динаміки нелінійної неавтономної системи на основі декомпозиції шуканих рішень її рівняння динаміки $(1)$ на складові, кожна з яких відповідає одному з власних чисел ${\rm \; }\lambda \_{n} ,{\rm \; }n=1,2,...,N{\rm \; }$ функціональної матриці Якобі, при збереженні логічної і математичної взаємозв'язку між цими складовими, відображає істота запропонованого підходу до проведення відповідних досліджень і нової методології.
Приклад
Дослідження якісних особливостей динаміки нелінійної автономної системи на основі декомпозиції рішень її рівняння динаміки за власним числам функціональної матриці Якобі, що відповідає цьому рівнянню.
У формі $(1)$ рівняння динаміки розглянутої нелінійної автономної системи має наступний вигляд:
$$display$$\begin{equation} \left\| \begin{array}{cc} {a \_{1.1}^{[1]} D+a \_{1.1}^{[0]} } & {0} \\\\ {a \_{2.1}^{[0]} } & {a \_{2.2}^{[1]} D} \end{array}\, \right\| \, \left\| \, \begin{array}{c} {x\_{ 1} (t)} \\\\ {x\_2(t)} \end{array} \right\| =\left\| \begin{array}{c} {g \_{1.1}^{[0]} } \\\\ {0} \end{array} \right\|f(t)+\left\|\begin{array}{c} {h\_{1.1} x\_{1}^2 (t)x\_2(t)} \\\\ {h\_{ 2.1} x\_{ 1}^{2} (t)x\_{ 2} (t)} \end{array}\right\|, \qquad(14) \end{equation} $$display$$
де $a\_{1.1}^{\left[1\right]} =a\_{2.2}^{\left[1\right]} =h\_{{\kern 1pt} 1.1} =1; h\_{{\kern 1pt} 2.1} =-1;f\left(t\right)={\rm \delta }\_{{\kern 1pt} 1} \left(t\right);g{\kern 1pt} \_{1.1}^{\left[0\right]} =\textit{A};a{\kern 1pt} \_{1.1}^{\left[0\right]} =B+1;a{\kern 1pt} \_{2.1}^{\left[0\right]} =-B.$
Після підстановки значень параметрів, зазначених в експлікації до рівнянню $(14)$, отримали таку уніфіковану форму цього рівняння: $$display$$\begin{equation} \left\| \begin{array}{cc} {D{\rm +B+1}} & {0} \\\\ {-B} & {D} \end{array}\right\| \, \left\| \begin{array}{c} {x\_{1} (t)} \\\\ {x\_{2} (t)} \end{array}\right\| =\left\| \begin{array}{c} {A} \\\\ {0} \end{array}\right\| \delta \_{1} (t)+\left\| \begin{array}{c} {x\_{1} (t)^{2} x\_{2} (t)} \\\\ {-x\_{1} (t)^{2} x\_{2} (t)} \end{array}\right\|. \end{equation} \qquad (15)$$display$$
Рівняння $(15)$, відоме як рівняння «брюсселятора», унікальне, оскільки якісні особливості його рішень істотно залежать від співвідношення між параметрами $А$ і $$ [4]. При $B=A^{2}+1$має місце біфуркація Хопфа, в якій стійкий граничний цикл, існуючий при $B>(A^{2}+1)$, переходить у стійку стаціонарну точку рішення $x\_{1}(t)=A; x\_{2}(t)=\frac{B}{A}$, що відповідає умові $B<(A^{2}+1)$. Бифуркационное співвідношення $B=(A^{2}+1)$встановлює кордон для характеру прояву особливостей і властивостей розв'язків рівняння $(15)$ в залежності від співвідношення між параметрами $A$ і $B$. Біфуркаційний характер динаміки рішень рівняння $(15)$ знаходить своє відображення в особливостях нестаціонарних властивостей власних чисел функціональної матриці Якобі, що відповідає цьому рівнянню, а також в динаміці елементів декомпозиції $(13)$, $l=1,2,$ і $n=1,2$ цих рішень з таким власним числам. Виділення математичних ознак і причинно-наслідкових співвідношень зазначеної взаємозв'язку і становить методологічну основу запропонованого підходу до дослідження якісних особливостей динаміки даної системи.
ополнив відповідним чином матрицю ${A(D)}$ виділеної лінійної частини рівняння $(15)$ за рахунок матриці $H(x,f,t)$ з метою забезпечення її збігу з матрицею Якобі отримали наступне еквівалентне опис динаміки системи [9,10]:
$$display$$\begin{equation} \left\| \begin{array}{cc} {D+B+1{\rm -2R}\_{1.0} {\rm R}\_{2.0} } & {{\rm -R}\_{1.0}^{2} } \\\\ {-B+{\rm 2R}\_{1.0} {\rm R}\_{2.0} } & {D+{\rm R}\_{1.0}^{2} } \end{array}\right\| \, \left\| \begin{array}{c} {x\_{1} (t)} \\\\ {x\_{2} (t)} \end{array}\right\| =\left\| \begin{array}{c} {A} \\\\ {0} \end{array}\right\| \delta \_{1} (t)+\left\| \begin{array}{c} {x\_{1} (t)^{2} x\_{2} (t){\rm -2R}\_{1.0} {\rm R}\_{2.0} x\_{1} (t){\rm -R}\_{1.0}^{2} x\_{2} (t)} \\\\ {-x\_{1} (t)^{2} x\_{2} (t)+{\rm 2R}\_{1.0} {\rm R}\_{2.0} x\_{1} (t)+{\rm R}\_{1.0}^{2} x\_{2} (t)} \end{array}\right\|, \end{equation} \quad (16)$$display$$
де $R\_{1.0}$ і $R\_{2.0}$ -нульові коефіцієнти в розкладанні регулярних складових рішень $x\_{r}(t),r=1,2$в степеневі ряди. Виконавши над рівнянням $(16)$ обчислювальну процедуру аналітичної частини аналітично-чисельного методу, у формі $(6)$ отримали наступне опис шуканих рішень: $x\_{r} (t)=x\_{r}^{+} (t)=\sum \_{i=0}^{\infty }\frac{R\_{r.i} t^{i}}{i!} , r=1,2, \qquad (17)$
де $R\_{r.i}$ -коефіцієнти степеневих рядів для регулярних складових шуканих рішень $x\_{r}^{} \left(t\right)$, обчислені за формулами $(9)$, при $l=r$ і $N=2$ з використанням нестаціонарних власних чисел $ \lambda\_{n}, n=1,2$ функціональної матриці Якобі рівняння $(16)$.
Сформовані для шуканих рішень $x\_{r}(t), r=1,2$ рівняння $(16)$ опис $(17)$ такі, що не містять сингулярних складових. Чисельна частина аналітично-чисельного методу на кожному кроці розрахунку в заданому інтервалі дослідження [0; 10] реалізована за стандартною схемою. Результати розрахунку динаміки системи з заданим граничним рівнем абсолютної локальної похибки розрахунку ${\rm \varepsilon }\_{r} \left(h\right)=1\cdot 10^{-5} $ і предначальными умовами $x\_{1}(0)=1, x\_{2}(0)=2,5$ для випадку, коли $A = 2, B= 6$ наведені на рис.1. Як видно з малюнка, динаміку розглянутої нелінійної автономної системи характеризує стійкий граничний цикл [4]. Характерною особливістю такої динаміки є «жорсткість», тобто чергування ділянок швидкого і повільного зміни характеристичного рівняння $(2)$. Однак, як видно з рис.2, принципова відмінність нелінійного випадку від лінійного полягає в тому, що показник $До$такого «видалення» не є константою, а з плином часу безперервно змінюється. В інтервалах часу [3-4], [8-9], коли шукані рішення змінюються досить швидко, нестаціонарний показник $До $, відображаючи цю особливість динаміки, досягає порівняно високих значень, що доходять до 100 одиниць. Починаючи з моменту часу $t=4$, що визначає початок інтервалу з достатньо повільною зміною рішень, показник $До $безперервно зменшується, приймаючи в інтервалі часу [4-8] значення близькі до одиниці, вказуючи на відсутність швидких складових у цих рішеннях. Таким чином «жорсткість», як якісна особливість нелінійної динаміки, характеризується нестаціонарним показником $До$. Безперервна зміна цього показника, відображаючи істоту нелінійної динаміки, розкриває основні принципи самоорганізації. Спосіб розрахунку власних чисел $\lambda\_{n},n~=1,2$ матриці Якобі такий, що, починаючи з другого кроку розрахунку, вони є функціями від обчислюваних наближених початкових значень $R\_{1.0}$ і $R\_{2.0}$ шуканих рішень. У свою чергу, у відповідності з формулами $(9)$, $(10)$, ці власні числа потім безпосередньо визначають динамічні показники $R\_{l.i} $ шуканих рішень в кінці поточного кроку розрахунку. Таким чином, у межах кожного кроку розрахунку управління динамікою, а значить і нестаціонарним показником «жорсткості» $До $цієї динаміки здійснюється за допомогою внутрішніх координатно-параметричних взаємозв'язків самого рівняння $(16)$. Ці внутрішні взаємозв'язки реалізуються через динамічні показники $R\_{l.i}$ рішень $x\_{r}^{} \left(t\right),r=1,2$, які, з одного боку, залежать від власних чисел $\lambda\_{n}, n=1,2$ функціональної матриці Якобі, а з іншого боку, визначають показник «жорсткості» $До$ нелінійної динаміки системи. Інакше кажучи, нелінійна динаміка системи володіє всіма ознаками адаптивного управління, оскільки «твердість», будучи якісною особливістю і наслідком цієї динаміки, породжується самою цією динамікою, генеруючи причинні співвідношення через власні числа матриці Якобі.
image
Рис.1. Наближені розв'язки рівняння $(16)$ A = 2, B = 6 показників шуканих розв'язків рівняння $(16)$.
Необхідні для проведення аналізу виявленого явища «жорсткості» результати розрахунку представлені на рис. 2-4. Ці результати відповідають реалізованої на основі уявлень $(11)$-$(13)$, при$N\_{m} =N=2$ і $ l=1,2 $декомпозиції рішень $x\_{l} (t)=x\_{l}^{+} (t)$рівнянь $(16)$ по власним числам $\lambda\_{n}, n=1,2 $ функціональної матриці Якобі. Так, наприклад, на рис.2 приведені графіки зміни дійсних і уявних частин нестаціонарних власних чисел $\lambda\_{n},n=1,2 $ функціональної матриці Якобі рівняння $(16)$. Згідно з цими графіками, «твердість», як і у випадку лінійної автономної системи, що характеризується видаленням один від одного абсолютних значень дійсних частин максимального і мінімального по модулю коренів
image
(а)
image
(б)
Рис.2. Динаміка речових (а) та уявної (б) частин власних чисел $\lambda\_{n}, n=1,2$ функціональної матриці Якобі при A= 2, B = 6
image
$\textbf{б}$
Рис.3. Динаміка речових (а) та уявної(б) частин двох складових (13), ${l=1,n}=1,2$ шуканого рішення $x\_{1}(t)$ рівняння (16) при A = 2, B = 6
image
Рис.4. Динаміка речових (а) та уявної (б) частин двох складових (13), $l=2, n=1,2$ шуканого рішення $x\_2(t)$ рівняння (16) при A = 2, B = 6
Характеризуючи зміну в заданому інтервалі дослідження [0-10] нестаціонарних власних чисел $\lambda\_{n}, n=1,2 $ функціональної матриці Якобі, в якості інтегрального показника такої зміни можна розглядати нестаціонарні властивості двох взаємопов'язаних функцій $\lambda\_{n}(t)$. Для подальших міркувань необхідно відзначити характерне властивість цих функцій, яке однозначно відповідають що проявляються в існуючому сталий граничному циклі особливостей динаміки рішень рівняння $(16)$. Ключовою ознакою такої відповідності, згідно рис.2, служить характерне властивість функцій $\lambda\_{n}(t)$, що виражається в регулярному характер чергування дійсних і комплексних областей їх допустимих значень. Це чергування в стійкому граничному циклі, відображаючи специфіку динамічних властивостей розв'язків рівняння $(16)$, є інформаційним показником виявлення умов виникнення біфуркації Хопфа. Інакше кажучи, в якості інформаційного показника біфуркації, як процесу стрибкоподібної зміни якісних динамічних властивостей системи, можна розглядати сам факт виникнення або зникнення в заданому інтервалі дослідження обмежених інтервалів часу, в межах яких безліч значень функції $\lambda\_{n}(t), n=1,2$ належить множині дійсних чисел. Для рівняння $(16)$ математичний ознака існування або відсутності таких інтервалів часу відображає умову реалізації біфуркаційних співвідношення параметрів системи: $=A^{2}+1$.
Нестаціонарний характер власних чисел $\lambda\_{n}, n=1,2 $ функціональної матриці Якобі, за допомогою взаємозв'язку, описуваної формулами $(9)$, $(10)$ і рівностями $(11)-(13)$, спрямованим чином обумовлює динаміку отриманих в результаті декомпозиції за цим числам складових $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$, $n=1,2, l=1,2$ кожної з шуканих рішень $x\_{l} (t)$ рівняння $(16)$. В інтервалах часу [0 -2,5] і [4 -6,5], коли, згідно з результатами, представленими на рис.1,3,4, рішення змінюються повільно, складові $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$, $n=1,2, l=1,2$ кожної з шуканих рішень $x\_{l} (t)$ володіють дійсними і уявними частинами і в сумі, згідно рівності $(12)$,$N=2,l=1,2$, визначають якісний зміст та наближені значення$x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} )$ цих рішень. Числові значення складових $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$, $n=1,2, l=1,2$ шуканих рішень $x\_{l} (t)$такі, що їх внесок у обчислювані на кожному кроці розрахунку наближені значення рішень $x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} )$майже порівняємо. Інакше кажучи, в інтервалах повільного зміни рішень рівняння $(16)$ серед їх складових$x\_{l}^{+} (t\_{k} ;{\rm \; }I\_{l} )$ відсутнє будь-яке домінування у впливі на формування динамічних показників рішень.
В інтервалах часу [3 — 4] і [7 — 8], коли, як випливає з рис.1,3,4, рішення рівняння $(16)$, змінюються швидко, їх складові $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$, $n=1,2, l=1,2$, за винятком порівняно малій околиці точок, відповідних зміни знака речових частин власних чисел $\lambda\_n, n=1,2$ функціональної матриці Якобі, володіють речовими частинами. Такий характер чисельних значень складових $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$, $n=1,2, l=1,2$ рішень $x\_{l} (t)$ повністю відповідає характеру зміни нестаціонарних власних чисел $\lambda\_n, n=1,2$ функціональної матриці Якобі, наведеним на рис.2. Аналізуючи вплив і взаємодія складових рішень $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$, $n=1,2, l=1,2$ на динамічні показники рішень$x\_{l} (t)$, необхідно відзначити явно виражений ознака домінування однієї складової над іншою. Це домінування для кожної з шуканих рішень проявляється по-своєму. Так, для першого з шуканих рішень $x\_{1}(t)$, згідно рис.3, в інтервалах швидкого зміни його показників явно домінує друга складова$x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$, $n=1,2, l=1,2$, згідно рис.4, картина принципово інша, характеризується змінним домінуванням то першою складовою $x\_{{\kern 1pt} 2}^{[1]}(t)$, то другий $x\_{{\kern 1pt} 2}^{\left[2\right]} \left(t\right)$. Таким чином, якісною ознакою існування стійкого граничного циклу для рішення рівняння $(16)$ є наявність інтервалів часу, в межах яких між двома складовими $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$, $n=1,2, l=1,2$ рішень $x\_{l} (t), l=1,2$ явно простежується домінування однієї над іншою.
Беручи до уваги надані раніше взаємозв'язку якісних особливостей динаміки рішень рівняння $(16)$ і інформаційного змісту показників, пов'язаних з декомпозицією цих рішень, становлять інтерес результати розрахунку наведені на рис.5-8. Ці результати відповідають розрахунку розглянутої нелінійної автономної системи у разі, коли в її рівнянні динаміки $(16)$ і $A = 2, B = 5.$
image
Рис.5. Наближені розв'язки рівняння (16) при A = 2, B = 5
image
$\textbf{а}$
image$\textbf{б}$
Рис.6. Динаміка речових (а) та уявної (б) частин власних чисел $\lambda\_{n}, n=1,2$ функціональної матриці Якобі рівняння (16) при A = 2, B = 5
image
Рис.7. Динаміка речових (а) та уявної (б) частин двох складових (13) $N=2, l=1$ шуканого рішення $x\_{1 }(t)$ рівняння (16) при A = 2, B = 5
image
Рис.8. Динаміка речових (а) та уявної (б) частин двох складових (13) $N=2, l=2$ шуканого рішення $x\_{2}(t)$ рівняння (16) при A = 2, B = 5
Предначальные умови, інтервал дослідження і граничний рівень абсолютної локальної похибки розрахунку ті ж, що і для розглянутого раніше випадку $A = 2, B = 6. $
рис.5 наведено наближені розв'язки рівняння $(16)$ при $ A = 2, B = 5$ і згідно з цими результатами дійсно має місце біфуркація Хопфа, коли при $=A^{2}+1$ стійкий граничний цикл, існування якого визначає умову $>(A^{2}+1)$, переходить у стійку стаціонарну точку рішення з показниками: $inline$x\_{1}(t)=А; x\_{2}(t)=\fracВА$inline$. Якісна зміна характеру динаміки системи внаслідок такої біфуркації знаходить своє відображення, як видно на рис.6-8 і в змінах характерних властивостей динаміки нестаціонарних власних чисел функціональної матриці Якобі $\lambda\_{n},n=1,2$ і в описуваних рівностями $(13)$ при $l=1,2$ і $n=1,2$ двох складовими $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$кожної з шуканих рішень$x\_{l} (t)$.
рис.6 представлені графіки зміни дійсних і уявних частин власних чисел $\lambda\_n, n=1,2$ функціональної матриці Якобі при ${A} = 2$ і $B = 5$. Як видно на рис.6, після моменту часу ${t}=3,5$ власні числа функціональної матриці Якобі $\lambda\_n, n=1,2$ мають виключно комплексний характер. Згідно рис.2, в стійкому граничному циклі ці власні числа приймають як комплексні, так і дійсні значення. Таким чином, математичним ознакою біфуркації Хопфа, що обумовлює перехід рішень $x\_{l} (t), l=1,2$ рівняння $(16)$ від стійкого граничного циклу $(A=2, B=6)$ до стійкої стаціонарної точки $(A=2, B=5)$, служить відсутність, після нетривалого перехідного процесу, дійсних чисел серед значень власних чисел $\lambda\_n, n=1,2$, функціональної матриці Якобі.
Як видно на рис.5, в результаті біфуркації зі складу характерних властивостей шуканого розв'язку рівняння $(16)$ зникає «жорсткість». Існування цієї властивості динаміки системи в стійкому граничному циклі $(A=2, B=6)$ нерозривно пов'язане з чергуванням $ t$ інтервалів, коли нестаціонарні власні числа функціональної матриці Якобі $\lambda\_n, n=1,2$ приймають то дійсні, комплексні значення. При переході до стійкої стаціонарної точки розв'язку рівняння $(16)$, $A=2, B=5$, внаслідок зміни внутрішніх координатно-параметричних взаємозв'язків зазначене чергування зникає. Таким чином, зникнення «жорсткості» з складу якісних особливостей розв'язків рівняння $(16)$ це наслідок відсутності, після нетривалого перехідного процесу, дійсних чисел серед значень власних чисел $\lambda\_n, n=1,2$, функціональної матриці Якобі.
У взаємозв'язку з зазначеними особливостями представляє інтерес зміна в біфуркації Хопфа характеру взаємодії складових$x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$, $n=1,2, l=1,2$ шуканих рішень $x\_{l} (t)$ рівняння $(16)$, що відповідають власним числам $\lambda\_n, n=1,2$ функціональної матриці Якобі. Порівняльний аналіз результатів, представлених на рис.3,4 і рис.7,8, показує, що однією з умов переходу від стійкого граничного циклу рішення $(A=2, B=6)$ до стійкої стаціонарної точки $(A=2, B=5)$ служить якісна зміна характеру взаємодії складових $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$, $n=1,2, l=1,2$ шуканих рішень $x\_{l} (t)$. В стійкому граничному циклі рішення характерно наявність інтервалів часу, в яких вплив складових декомпозиції $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$, $n=1,2, l=1,2$ на динамічні показники рішень $x\_{l} (t), l=1,2$ пов'язане з домінуванням однієї складової над іншою. Рис.7,8 вказують на відсутність такої якісної особливості для випадку стійкої стаціонарної точки рішення. Таким чином, математичним ознакою біфуркації Хопфа, викликаної переходом шуканих рішень $x\_{l} (t), l=1,2$ рівняння $(16)$ від стійкого граничного циклу $(A=2, B=6)$ до стійкої стаціонарної точки $(A=2, B=5)$, служить виключення будь-якого домінування серед складових $x\_{{\kern 1pt} l}^{\left[n\right]} \left(t\right)$, $n=1,2, l=1,2$ при формуванні динамічних показників шуканих рішень$x\_{l} (t)$.
Список літератури
  1. Данилов Ст. Л., Матханов П. Н., Філіппов Е. С. Теорія нелінійних електричних ланцюгів. – Л.: Энергоатомиздат, 1990. – 256 с.
  2. Гакен Р. Синергетика. Ієрархія нестійкостей в самоорганізованих системах та пристроях. – М: Світ, 1985. – 423 с.
  3. Кроновер Р. М. Фрактали і хаос у динамічних системах. Основи теорії. –М.: Постмаркет, 2000. -352 с.
  4. Хайрер Е., Нерсетт С., Ваннер Р. Рішення звичайних диференціальних рівнянь. Нежорсткі завдання / Пров. з англ. В. А. Кульчицької, С. С. Філіппова (ред.) – М.: Світ, 1990. -512 с.
  5. Заславський Р. М., Сагдеев Р. З., Вусиків Д. А., Черніков А. А. Слабкий хаос і квазирегулярные структури.- М.: Наука, 1991.-240с.
  6. Єгоренко Д. Л., Фрадков А. Л., Харламов В. Ю. Основи математичного моделювання з прикладами на мові MATLAB / Вид-во
    Бєлгородський державний технологічний університет. – СПб., 1996. -192 с.
  7. Андрієвський Б. Р. Аналіз систем у просторі станів. – СПб.: Іпмаш РАН, 1997. – 206 с.
  8. Афанасьєв В. Н., Колмановський В. Б., Носов В. Р. Математична теорія конструювання систем управління. –М: Вища шк., 1989. – 447 с.
  9. Бичків Ю. А., Щербаков С. В. Аналітично-чисельний метод розрахунку динамічних систем. – Видання друге, доповнене. СПб., Энергоатомиздат, Санкт-Петербурзьке відділення, 2002. – 368 с.
  10. Бичків Ю. А., Щербаков С. В. Аналітичний і чисельний розрахунок детермінованих нелінійних моделей динамічних систем з зосередженими та розподіленими нестаціонарними параметрами. Видання друге, перероблене і доповнене. СПб.: Вид-во СПбГЭТУ "LETI", 2014. — 388с.
Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.