Проста математика для вирішення непростих завдань

image

При розгляді статті, присвяченій системі пріоритезації звернень в технічну службу АТ «Инфовотч», може виникнути логічне запитання: яким чином проводився розрахунок вагових коефіцієнтів? «Укласти» алгоритм розрахунку коментар до статті з урахуванням його обсягу буде, м'яко кажучи, важкувато. Тому, передбачаючи подібні питання, ми вирішили доповнити попередню статтю поетапним розглядом алгоритмів розрахунку даних вагових коефіцієнтів.

У першу чергу варто відзначити, що весь розрахунок базується на інструментарії, що використовується в методі аналізу ієрархій (МАІ). МАІ — математичний інструмент прийняття управлінських рішень експертним шляхом. Короткий зміст даного методу, теорії, полягає в представленні проблеми у вигляді ієрархії. Вершиною цієї ієрархії є наша мета. Нижній рівень містить альтернативи, проміжний — критерії оцінки даних альтернатив.



Малюнок 1. Розрахункові дані за базовим показником

Вид ієрархії безпосередньо залежить від завдання, яке ми ставимо перед собою при прийнятті рішень. У нашому випадку ієрархії будуть дворівневі, так як тут ми не вирішуємо задачу вибору, а використовуємо цей інструмент для розрахунку ваг експертним шляхом. В цілях спрощення розгляду розрахункового алгоритму, детально розглянемо всі розрахунки на прикладі визначення ваг за базовим показником. Аналогічно проводиться розрахунок з плаваючим показниками.



Малюнок 2. Розрахункові дані за базовим показником

В теорії МАІ алгоритм розрахунку реалізується в п'ять етапів. Однак ми будемо використовувати тільки два етапи, спрямовані на побудову матриць парних порівнянь і розрахунок відповідного вектора пріоритетів, що містить шуканий вагу.

Варто відзначити, що представлення задачі у вигляді ієрархії на практиці є необов'язковим. Наша ієрархія на першому рівні містить «Базовий показник», другий рівень ієрархії містить компоненти «Медіа-ескалація», «Вище керівництво», «Маркетинг», а також три програми підтримки.

Наступним етапом є визначення пріоритетів компонент, які відображають вага тієї чи іншої компоненти в розглянутій групі. Також необхідно зазначити, що пріоритет знаходиться у діапазоні від нуля до одиниці. Сума пріоритетів всіх компонентів, підпорядкованих базовим показником, дорівнює одиниці. Щоб розрахувати дані пріоритети, проведемо парні порівняння компонент по відношенню до базового показника. На даному етапі розраховується назад-симетрична матриця по властивості:



де індекси i та j – номер рядка та номер стовпця, на перетині яких стоїть елемент.
При порівнянні компоненти з самою собою виставляємо одиницю. Формалізація задачі має вигляд:



Матриці будуються таким чином. У лівому верхньому куті записується елемент, стосовно якого проводиться порівняння за ступенем важливості. Заголовки стовпців і рядків містять порівнювані елементи. Для нашого завдання ми будували п'ять матриць, одну для базового показника, і чотири з плаваючим показниками і їх класифікаційними ознаками.

Тепер давайте подивимося, що являє матриця для розрахунку ваг за базовим показником в загальному вигляді.

Таблиця 1. Матриця 2 рівня ієрархії


Якщо з діагоналлю все зрозуміло (як ми вже говорили, при порівнянні елемента з самим собою виставляється одиниця), то звідки брати оцінки відносної важливості для всіх інших клітин? Для даних цілей розроблена універсальна шкала відносної важливості.

Таблиця 2. Шкала відносної важливості


Таким чином, експерт, порівнюючи елементи в рядках з елементами в стовпцях за ступенем важливості з точки зору базового показника, поступово заповнив дану матрицю з використанням властивості зворотного симетрії.

Наприклад, з матриці можна бачити, що «Медіа ескалація» перевершує рівень підтримки «Basic» по відношенню до базового показника дуже сильно, про що свідчить проставлена експертом інтенсивність відносної важливості «9».



Варто відзначити, що якщо виникають розбіжності між експертами, визначається геометричне середнє різних оцінок в якості загальної оцінки суджень:



Наступним етапом є синтез пріоритетів, який дозволяє об'єднати отримані результати з метою визначення шуканих ваг.

Для визначення відносної цінності кожного елемента нашої матриці необхідно знайти геометричне середнє і з цією метою перемножити n елементи кожного рядка, і з отриманого результату витягти корінь n-го ступеня.


_____________________________________________________________________
Для даної матриці отримаємо (розмірність ):



Для нормалізації отриманих чисел визначаємо нормирующий множник r.



І кожне з чисел ділимо на r.



В результаті отримуємо вектор пріоритетів:


де індекс «2» означає, що вектор пріоритетів відноситься до другого рівня ієрархії.
_____________________________________________________________________
Для розглянутого прикладу нормирующий коефіцієнт дорівнює:



А вектор пріоритетів:



Числа



є компонентами вектора пріоритетів компонент



Подібну процедуру проробляємо для всіх матриць парних порівнянь і отримуємо результат по всім необхідним ваг. На завершення варто відзначити, що даний розрахунковий алгоритм легко реалізується засобами MS Excel.
Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.