Футбольний м'яч і фулерени

Одним з найкрасивіших математичних результатів можна сміливо вважати теорему Ейлера, яка вперше з'явилася в журналі Петербурзької Академії наук в роботах Леонарда Ейлера «Елементи вчення про тіла» і «Доказ деяких чудових властивостей, яким підпорядковані тіла, обмежені плоскими гранями».

Теорема Ейлера. Нехай ${\rm B}$ – число вершин опуклого багатогранника, ${\rm P}$ – кількість його ребер і $\Gamma$ – число граней. Тоді вірно рівність
$ {\rm B} - {\rm P} + \Gamma = 2. $

Число $\chi = {\rm B} - {\rm P} + \Gamma$ називається эйлеровой характеристикою багатогранника. Легко обчислити эйлерову характеристику для деяких знайомих нам многогранників.

Багатогранник ${\rm B}$ ${\rm P}$ $\Gamma$ $\chi$
Тетраедр 4 6 4 2
Куб 8 12 6 2
Октаедр 6 12 8 2


Доказ теореми Ейлера може бути знайдено тут.

Давайте скористаємося теоремою Ейлера для встановлення деяких цікавих фактів. Подивіться на зображення футбольного м'яча.



Питання: скільки потрібно взяти п'ятикутників, щоб зшити м'яч? Нехай $x$ – кількість шестикутників, а $y$ – кількість п'ятикутників. Давайте застосуємо теорему Ейлера до нашого футбольного м'яча:
$ {\rm B} - {\rm P} + \Gamma = 2, $
де ${\rm B} = \frac{6x + 5y}{3}$, ${\rm P} = \frac{6x+5y}{2}$, $\Gamma = x+y$. Формули для кількості вершин, ребер і граней легко виходять з спостереження, що кожна вершина потрапляє на три грані, а по кожному ребру перетинаються тільки дві грані. Підставивши значення у формулу, ви отримаєте відповідь: $y=12$. Змінна $x$ виключається з рівняння, тобто кількість шестикутників може бути яким завгодно. На наступній картинці зображено м'яч, зшитий з одних тільки п'ятикутників. Скільки їх?



Цей багатогранник називається додекаедрів і є одним з п'яти правильних многогранників.

Давайте розглянемо інший сюжет. Фулерени — молекулярні сполуки, що належать класу аллотропних форм вуглецю і представляють собою опуклі замкнені многогранники, складені з парного числа трехкоординированных атомів вуглецю. Своєю назвою фулерени зобов'язані інженеру і архітектору Річарду Бакминстеру Фуллеру, чиї геодезичні конструкції побудовані за цим принципом. Спочатку цей клас сполук був обмежений лише структурами, що включають тільки п'ятикутні і шестикутні грані.


І нарешті, давайте подивимося на наступну картинку.



Нічого особливого — всього лише купол, зібраний з шестикутників. А тепер ще раз помедитуйте над формулою Ейлера і вперед шукати пятиугольники.



Цей та багато інших математичні сюжети дивіться у чудових лекціях Олексія Савватеева або в його книзі «Математика для гуманітаріїв».

Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.