Алгоритм знаходження еквівалентних точок осі абсцис функції многочлена


Шановні хабровчане, вітаю! Продовжуємо цикл навколоматематичних статей, попередня розташована тут. Нагадаю, що я лише дилетант математики, що займається її морально-естетичної стороною, і мої ідеї можуть здатися вам нецікавими/марними/etc. Отже:
Для початку вірним кроком буде введення аксіоматики на рахунок терміна «еквівалентності» в даному контексті:
  • Якщо деяка координата осі абсцис imageз числового безлічі задовольняє наступній умові:
    image
    Вважається, що image(imageеквівалентна image)
Така аксіоматика в рамках цієї статті зручності заради, і, строго кажучи, не зовсім коректна.
І відразу б непогано відповісти на традиційне питання: «вибачте, а навіщо це треба?». Відповідаю — як мінімум, для пошуку інших коренів рівняння многочлена (перейшовши від рівняння до функції), знаючи лише один корінь. А також різноманіття менш очевидних речей. Зараз ми і займемося вирішенням цього завдання, а потім приведемо алгоритм у загальному вигляді. Для зацікавлених милості прошу під кат.
Зазначимо, що ми будемо працювати над наступним класом функцій:
image
Для тих, хто не знає, що таке сигмапотрібно пояснити, що це рівносильне наступному:
image
Це ні що інше, як загальний вид функції, що представляє собою многочлен.
Давайте нарешті сформуємо зрозумілу завдання на конкретному прикладі, щоб краще розуміти, що відбувається. Отже, маємо рівняння многочлена третього ступеня, тобто кубічна:
image
Завдання: знаючи один з коренів рівняння (з будь-якого числового безлічі — будь він хоч рациональнымхоч комплексным тощо), знайти інші корені рівняння. Та не просто знайти, а шляхом рішення рівняння меншою мірі!
Що ж, саме час перейти від рівняння до функції:
image
А далі, заради забави, знайдемо всі ненульові похідні функції:
image
image
image
Ну раз вже знайшли, давайте і в ряд Тейлора розкладемо функцію (image):
image
Далі згадаємо вищеописану аксиоматику еквівалентності imageдля нашого контексту:
image[в силу рівності справедливо і image]
Нічого не нагадує? Правильно! Це ж перший член розкладу в ряд Тейлора для нашої функції. Тоді, очевидно, щоб рівність було тотожним, інші члени розкладання повинні звернутися в нуль. Іншими словами:
image
Скористаємося наступним очевидним правилом:
  • Твір одно нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б один або кілька множників дорівнює нулю.
А ми якраз можемо множник imageвинести за дужки:
image
Тоді:
  1. image
    не підійде, т. к. image, бо буде тавтологія виду image
  2. image
Ось другий випадку звернення в твір в нуль нам цілком підійде! Давайте ж скоріше підставимо похідні:
image
Подсократим небагато:
image
І о диво! Рівняння вийшло другий ступеня (квадратне), в той час як вихідне рівняння було кубічним (третин ).
Вирішуючи його відносно imageотримаємо такі корені:
image
Очевидно, з цього для нашої функції випливає наступне:
image
Що це нам дає для нашого рівняння? А те, що знаючи один з коренів рівняння, ми зможемо знайти інші два (причому за квадратичну складність).
Слідство: знаючи один з коренів рівняння ступеня image, можна знизити ступінь рівняння до image, причому корінь може бути з будь-якого стандартного числового безлічі.
Давайте розглянемо на конкретному прикладі:
image
Я знаю, що з коренів шуканого рівняння дорівнює image. А якщо уявити рівняння як кубічну функцію (за алгоритмом, описаним вище), то отримаємо наступне:
image
Графік виглядає наступним чином:

Тоді для нашого кореня image:
image
Тобто:
image
Таким чином, ми знайшли інші два кореня кубічного рівняння шляхом розв'язування квадратного рівняння. У загальновідомих колах є метод ділення куточком, що дозволяє також знизити ступінь. Але він працює тільки при цілочисельних коефіцієнтах (тобто раціональні доведеться приводити до цілим, а комплексні взагалі не можливо).
Також цікавий той факт, що з подібної формули «еквівалентності» слідують умови (не)монотонності для многочлена n-го степеня. Сформувати її можна так:
При виявленні в многочлене imageпарного радикала image(де image— будь підкореневий вираз) можна сформувати наступну властивість:
Якщо при будь-яких imageвиконується нерівність image, то графік шуканої функції є монотонним на всьому безлічі image. Також справедливо і зворотне, якщо image.
Чому так? Та тому що якщо воно не виконується, то ми просто не зможемо обчислити imageОДЗ підкореневого виразу.
Мабуть, настав час сформувати загальний алгоритм знаходження еквівалентних точок осі абсцис функції многочлена.
Маємо рівняння у вигляді многочлена довільній ступеня загального виду:
image
Перейдемо від рівняння до функції:
image
Розкладемо функцію в ряд Тейлора, де image:
image
Нам необхідно знайти image, отже:
image
Тоді:
  1. image
    не підійде, т. к. image, бо буде тавтологія виду image
  2. image
Вирішимо рівняння відносно image(ступінь якого менше вихідного), коріння якого і будуть еквівалентністю image.
Тепер, зокрема, справедливо наступне:
  1. image
  2. image
Еквівалентні точки знайдені.
Також не забуваємо про умову (не)монотонності та інші різноманітні слідства з шуканого алгоритму. Також варто відзначити, що зазвичай умови монотонності визначають за ОДЗ радикала коренів рівняння image. Нагадаю, що так можна шукати не тільки «інші корені», але і будь-які image, такі що:
image
Ще варто згадати, що, згідно теоремою Абеля — Руффіні, алгоритм буде працювати тільки до многочлена загального види 5-го ступеня включно (т. к. корені рівняння вищих порядків більше четвертої можна представити у вигляді раціональних функцій (коренів то пак тощо).
Поставлену недільну завдання ми виконали, за сім відхиляюсь.
Спасибі за увагу!
Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.