Середнє арифметичне: фізичний сенс і візуалізація

Змінна величина – атрибут (властивість) системи, який змінює своє числове значення. Безліч значень змінної величини може мати вигляд:
65, 59, 62, 63, ...

Людина аналізує числові дані такого роду і приймає рішення. Знання температури повітря допомагає правильно одягнутися. Курс валюти говорить купувати її чи продавати.
Коли одне або кілька значень, то ніяких труднощів не виникає. Але коли значень десятки або сотні, то людині складно відразу зрозуміти, що означають отримані дані. На допомогу приходять інтегральні характеристики множин значень і візуалізація.
Одна з інтегральних характеристик безлічі значень змінної величини – середнє арифметичне. Подивимося на нього з точки зору статистики, фізики (механіки) і естетики.
Три точки зору на числові дані

Середнє арифметичне двох чисел
Почнемо з мінімального набору чисел, для яких можна підрахувати середнє арифметичне. Ось два числа:
5 і 11

Їх середнє арифметичне:
(5 + 11) / 2 = 8

Два спостереження:
  • Середнє арифметичне знаходиться посередині двох чисел (більше меншого, але менше більшого).
  • Середнє арифметичне не завжди входить в аналізований набір чисел (не дорівнює жодному з двох чисел).
Фізичний сенс середнього арифметичного
Зобразимо два вихідних числа та їх середнє арифметичне на числовій осі:
Числова вісь ваги
Числа позначені чорними кружками, а середнє арифметичне червоним трикутником. Отримана конструкція – це ваги. Для терезів в рівновазі правило важеля вимагає, щоб моменти сил були рівні. Терези не нахиляються ні в одну, ні в іншу сторону, так як крутний момент відсутня.
M1 == M2

В механіці момент сили – це добуток сили
F
відстань
l
:
M = F * l

На плечі ваг діє сила, що створюється вагою точок-"вантажів". Позначивши відстані від вантажів до точки опори
l1
та
l2
, отримаємо:
w1 * l1 == w2 * l2

-"вантажі" відрізняються тільки координатою на осі. Будемо вважати їх вага однаковим. Тоді:
l1 == l2

Позначивши
m
координату точки опори ваг, отримаємо:
m - x1 == x2 - m

m = (x1 + x2) / 2 = (5 + 11) / 2 = 8

Аналогічно з формули рівності моментів для довільної кількості
N
точок-"вантажів" з однаковою вагою
w
виводиться формула середнього арифметичного. Рівність моментів для обох плечей ваг:
w * l1 + w * l2 + ... == w * lk + ... + wlN

Координата опори ваг
m
:
(m - x1) + (m - x2) + ... == (xk - m) + ... + (xN - m)

m * N == x1 + x2 + ... + xk + ... xN

m = sum (x1 + x2 + ... + xk + ... xN) / N

Формула середнього арифметичного дає координату точки опори ваг, що перебувають у рівновазі.
Візуальне сприйняття рівноваги
Рівновагу в образотворчому мистецтві відіграє найважливішу роль. Якщо при створенні картини не досягнуто рівновагу її елементів, то твір не буде закінченим. У кожній картині художник створює рівновагу різних візуальних сил.
Рудольф Арнхейм зазначає, що людський зір здатне виявляти найменші відхилення від центру рівноваги у зображенні:
Центр квадрата і коло
На наведеному прикладі зліва коло знаходиться в стані рівноваги, а праворуч немає. Незважаючи на те, що точка рівноваги (центр квадрата) ніяк не позначена на малюнку, людина з великою точністю може визначити, чи знаходиться коло у цій точці чи ні.
Незважаючи на те, що точка рівноваги може бути зображена, людина сприймає її як частину візуальної структури:
Невидимий центр квадрата сприймається як існуючий
Аналогічно і середнє арифметичне: необов'язково входить в набір чисел, але значимо для його сприйняття та оцінки.
Математичне сподівання випадкової величини
Для випадкової величини аналогом середнього арифметичного служить математичне очікування. Вірогідність при цьому можна вважати вагою точки-"вантажу". Формула рівності моментів з різними вагами:
w1 * l1 + w2 * l2 + ... == wk * lk + ... + wN * lN

Тепер точка опори ваг в рівновазі це
mu
:
w1 * (mu - x1) + w2 * (mu - x2 ) + ... == wk * (xk - mu) + ... + wN * (xN - mu)

w1 * mu - w1 * x1 + w2 * mu - w2 * x2 + ... == wk * xk - wk * mu + ... + wN * xN - wN * mu

mu * (w1 + w2 + ... + wk + wN) == w1 * x1 + w2 * x2 + ... + wk * xk + ... + xN * wN

Сума всіх ймовірностей дорівнює 1. Отже, і сума ваг дорівнює 1. Тоді формула координати точки ваг в рівновазі дорівнює:
mu = w1 * x1 + w2 * x2 + ... + wk * xk + ... + xN * wN

Це і є формула матетатического очікування.
Гістограма
Гістограма – це візуалізація (геометричне зображення) значень змінної величини з урахуванням ймовірностей. Гістограма показує для вибірки значень, які з них з'являються часто, які рідше, а які зовсім рідко.
На гістограмі можливі значення відкладаються на горизонтальній осі, а ваги – по вертикальній. Діапазон значень по вертикалі очевидний – від 0 до 1 (значення ймовірності). По горизонталі діапазон повинен включати очікувані значення змінної.
Гістограма представляє собою просту картину (примірник образотворчого мистецтва). Глядач очікує, що точка рівноваги безлічі значень буде рівно посередині гістограми:
Очікувана точка середнього для розподілу в центрі гістограми
Виходячи з цього повинен підбиратися діапазон значень для горизонтальної осі гістограми. Тоді відразу буде видно відхилення властивостей вибірки значень від очікуваних:
Отримане середнє вибірки зміщене щодо очікуваного
Такого роду відхилення може бути викликане викидами. Викиди – це значення, сильно відрізняються від інших. Завдяки правилом важеля, навіть невелику кількість викидів змінює точку рівноваги і середнє арифметичне:
Дайте мені точку опори, і я переверну Землю. Архімед
Висновки
  • Середнє арифметичне – інтегральна характеристика набору числових даних (вибірки). Застосовується як описова характеристика в сукупності з іншими.
  • Нормально, що середнє значення не входить в набір даних. Середнє арифметичне не може замінити повний опис отриманої вибірки.
  • Інтервал значень гістограми повинен бути підібраний таким чином, щоб очікуване середнє арифметичне було посередині. Тоді буде відразу видно відхилення параметрів вибірки від очікуваних значень.
  • Середнє арифметичне піддається впливу викидів – значень, що сильно відрізняються від решти значень змінної величини.
Посилання
Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.