Суперечність — формула, помилкова в будь-якій інтерпретації

Суперечність, згідно Колмогорова, формулюється наступним чином [Математична логіка, стор 51]: «Формула, помилкова в будь-якій інтерпретації, називається суперечністю». Так, формули (2 = 2), Y = Y) – істинні; формули (2 = 3), (Y ≠ Y), (Y = Y) – помилкові. Але тоді з цього випливає, що не існує різниці сказати: формула — помилкова, формула – суперечлива.

Повернемось до цих висновків трохи пізніше.

Поки ж задамося питанням. Чи знайдеться такий предикат P, що про кожному елементі цієї множини буде правильним сказати (X – P), де Х – елемент множини? Іншими словами, для кожного безлічі можна знайти характеристичний властивість P(X)? Так, для кожного. Справді, вже з першого класу в школі вчать як вважати елементи множини. Наприклад, для множини {доги, лайка | собака} можна сказати, що (дог – собака), (лайка — собака) і собак дві. Тут предикат – собака. А для множини {собака, слон, кішка | тварина} цим предикатом буде «тварина». Яким же найбільш абстрактним це P може бути? Цим найбільш абстрактним P є поняття «бути». Якщо порівняти такий підхід з діаграмами Венна, то видно, що діаграми Венна являють собою вид зверху, а підхід «елемент множини — предикат» представляє вид збоку. Причому вони можуть бути виражені як X=F(P), де F — функція, що перетворює однозначно предикат в елемент множини. І для кожного елемента множини вона своя.

image
Але можна поставити питання інакше. Що спільного між різними елементами множини? Спільне між елементами множини те, що кожен із розрізняються попарно елементів «дорівнює собі», тобто виконується (Х = Х). Отже, «бути» і «рівнятися собі» суть одне. Тому формулюємо: (існує Х) = (Х = Х). Заперечення ж по відношенню до (Х = Х) (Х ≠ Х). Маємо: (не існує Х) = (Х ≠ Х).

Може виникнути питання трактування поняття «існує». В математиці прийнято поняття «існує» ототожнювати з квантором існування. Квантор ж існування є «принаймні один». Немає сумнівів, що «принаймні один» з квантором існування суть одне. Але як бути з «існує»? Чи тотожні поняття «існує» і «існують»? Немає. Поняття «принаймні один» — це «один або більше одного». Але тоді «один або більше одного» — те ж саме, що «існує чи існують». Припустимо, є безліч {Х2, Х1 | Х}. Виходячи з цих міркувань можна сказати, що існує Х2) = (Х2 = Х2), (існує Х1) = (Х1 = Х1) і що в множині {Х2, Х1 | Х} є два P», де (P є Х), а (Х2 ≠ Х ), (Х1 ≠ Х).

У цьому прикладі елемент множини і предикат – не одне і теж. Але чи можливо таке, що елемент множини, якщо він — єдиний елемент, і характеристичне властивість (предикат) — одне: {X | X}.

Як же тоді ставитися до того, що безліч не може бути своїм елементом, адже такий підхід допускає Х = {X}? Так, якщо спробувати спростувати це таким чином, що «містить безліч, яке не містить себе?», то це рівнозначно тому, щоб сказати Х = {не, Х}. Протиріччя тут виникає не тому, що безліч і елемент множини не можуть бути рівними, а тому, що робиться спроба ототожнити два або більше елементів множини з одним з цих елементів.

Грегорі Чейтин якось сказав з приводу висновків Геделя [Сторіччя протиріч в підставах математики]: «Таким чином, ідея полягає в тому, що ми або доводимо помилкове твердження, що є для системи жахливим (вона суперечлива), або ми маємо щось не настільки жахливе, але все ж погане, тому що в цьому випадку наша формальна аксіоматична система неповна». Але може варто вибрати інший шлях? Може варто формулювати все в термінах повноти системи, навіть якщо протиріччя, тобто неправдива в будь-якій інтерпретації формула, допускається? Зрештою, чи не починається математика з таблиць істинності, де брехня є таким же логічним об'єктом, як і істина? Потрібно ж якось висловлювати те, чого немає! Ось, формула (немає Х) = (Х ≠ Х) саме це і робить.

Така логіка, до речі кажучи, дозволяє інтерпретувати летить стрілу (один з парадоксів Зенона) з точки зору змінюючих один одного станів: (А є, немає, немає) → (А ні, є, немає) → (А ні, немає, є), де А, В, С – стану стріли S. А що є стан? Пошлемося на С. В. Дронина [Квантова магія]:

image
Висновки? По-перше, стріла S (говоримо про сутності) – одна, оскільки (одна S) = (S = S). По-друге, кожне з її станів також одне: (А) = (А = А), (В) = ( = ), (одне З) = (С = С). По-третє, переходи з стану в стан, коли немає ні того не іншого стану, може бути виражене (на прикладі переходу А→B) наступним чином: (немає А) = (А ≠ А), (ні А, ні В) = (А = В), (ні) = ( ≠ ).

Що являють собою (є А) = (А = А), (ні А) = (А ≠ А) в термінах квантової механіки? Суперпозицію |1> + |0> чистих станів системи А. Вважається, що магія КМ починається з розуміння принципу, що система може перебувати в різних станах одночасно (несепарабельность є не-відділення)! У разі змішаних станів це означає, що стан А стріли S – те ж саме, що стан стріли S: (ні А, ні В) = (А = В).

У кібернетиці, якщо спостерігається система S, в якій відбувається зміна станів (А→B→C), то вона (система S) не замкнута. І вона (система S) буде замкнутою, якщо останній стан переходить в один зі своїх попередніх станів. Наприклад, такими будуть: (A→B→C→C) або (А→B→C→B). Можна перетворити не замкнутість замкнутість? Можна. Маємо систему S: (A→B→C→нет_Ѕ→нет_Ѕ).

Висновки до сказаного. Стан системи (перетворення) суть саме перетворення. Таке бачення дозволяє описувати ієрархію систем. І висловити зміна чого-небудь без залучення формули, помилкової в будь-якій інтерпретації, просто неможливо.
Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.