Оракул від арифметики

В свої 28 років Петер Шольце розкриває глибинні зв'язки між теорією чисел та геометрії


У 2010 році за спільноті людей, що вивчають теорію чисел, пройшов вражаючий слух – і дійшов до Джареда Вайнштейна [Jared Weinstein]. Нібито якийсь аспірант з Боннського університету в Німеччині опублікував роботу, в якій 288-сторінкове доказ теорем теорії чисел ужато всього до 37 сторінок. 22-річний студент Петер Шольце знайшов спосіб обійти одну з найскладніших частин докази, зіставивши теорії чисел та геометрії.

«Просто неймовірно, що такий молодий чоловік зміг зробити щось настільки революційний,- каже Вайнштейн, 34-річний фахівець з теорії чисел з Бостонського університету. – Це безперечний привід для поваги».

Факультет Боннського університету, які привласнили Шольце звання професора всього два роки потому, вже знали про його екстраординарних розумових здібностях. Після публікації роботи його почали помічати експерти і по теорії чисел та геометрії.

З того моменту Шольце, якому зараз 28, доріс до високого положення вже в більш широкому математичному співтоваристві. Його називають "одним з найвпливовіших математиків світу" і "рідкісним талантом, що з'являються раз на кілька десятиліть". Про нього говорять, як про фаворита серед претендентів на Филдсовскую премію, одну з найвищих нагород для математика.

Ключовим нововведенням Шольце – класу фрактальних структур, названих їм перфектоидными просторами – виповнилося всього кілька років, але воно вже веде до далекосяжних наслідків в галузі арифметики, геометрії, у якій зливаються теорія чисел та геометрії. Вайнштейн каже, що робота Шольце була пророчою. «Він зміг побачити наслідки до того, як ті почали відбуватися».

Баргав Батт [Bhargav Bhatt], математик з Мічиганського університету, писав спільні роботи з Шольце, говорить, що багато математики реагують на його роботи «з сумішшю благоговіння, страху і збудження».

І це не через його характеру, який колеги описують, як приземлений і щедрий. «Він ніколи не дає вам зрозуміти, що перевершує вас»,- говорить Юджин Хелман [Eugen Hellmann], колега Шольце по університету. Швидше, це його лякає здібності заглядати так глибоко в суть математичної задачі. На відміну від багатьох математиків він починає роботу не з певного завдання, що вимагає рішення, а з якоюсь невловимою концепції, яку він хоче зрозуміти заради інтересу. Але потім, як стверджує Анна Карайани [Ana Caraiani], фахівець з теорії чисел з Прінстонського університету, працювала з Шольце, створювані ним побудови «виявляють застосування в мільйоні інших напрямів, які спочатку не були передбачувані – просто тому, що для вивчення були обрані правильні об'єкти».

Вчимо арифметику

Математичний інститут в Боннському університеті, Німеччина

Шольце почав самостійно осягати інститутську математику в 14 років, відвідуючи гімназію Генріха Ґертца, берлінську школу з ухилом в математику і науку. У цій гімназії, як описував Шольце, «ти не був чужинцем, якщо цікавився математикою».

У 16 років Шольце дізнався, що за десять років до цього Ендрю Уайлс довів знамениту теорему 17-століття, відому як Велика теорема Ферма, яка стверджує, що у рівняння xn + yn = zn немає рішень в цілих числах більше нуля при n > 2. Шольце дуже захотілося вивчити доказ, але швидко з'ясувалося, що, незважаючи на простоту теорема, її доведення використовує математику самого передового рівня. «Я нічого не зрозумів, але було дуже круто»,- говорить він.

І Шольце почав вивчати, які прогалини в знаннях йому потрібно заповнити, щоб зрозуміти це доказ. «І досі зазвичай я так все і вчу, — говорить він. – Я ніколи не вивчав базові речі на зразок лінійної алгебри – я осягав їх, вивчаючи щось інше».

Зарившись у доказ, він був вражений математичними об'єктами під назвою модулярные форми і еліптичні криві, які загадковим чином об'єднують такі непорівнянні області, як теорія чисел, алгебра, геометрія і аналіз. За його словами, вивчення типів об'єктів, що використовувалися в доказі, було, можливо, ще більш цікавим, ніж саме доказ.

Математичні смаки Шольце почали визначатися. Сьогодні він все ще тяжіє до задач, де зустрічаються прості рівняння і цілі числа. І ці відчутні коріння досить чітко дають йому відчувати навіть езотеричні математичні структури. «По суті, я захоплююся арифметикою»,- говорить він. За його словами, найбільш щасливим він буває, коли його абстрактні конструкції приводять його назад до невеликим відкриттів, пов'язаних з звичайними цілими числами.

По закінченню школи Шольце продовжував вивчати теорію чисел та геометрії в Боннському університеті. Як згадує його однокласник Хелман, на заняттях з математики Шольце нічого не записував. Хелман стверджує, що Шольце розумів матеріал курсу в реальному часі. «Не просто розумів, але розумів на якомусь глибокому рівні, що дозволяло йому не забувати матеріал».

Шольце почав вивчати арифметичну геометрію, використовує геометричні інструменти для розуміння цілочисельних рішень поліноміальних рівнянь – таких, як xy2 + 3y = 5, де беруть участь лише числа, змінні і ступінь. Для деяких таких рівнянь корисно дізнаватися, чи є у них рішення в альтернативній системі чисел, званої p-адическими числами. Як і речові числа, вони будуються шляхом заповнення порожнеч між цілими числами і дробами. Але ця система будується на нестандартної ідеї про місцезнаходження цих порожнин і близькості чисел один до одного. В р-адической системі два числа коштують близько не тоді, коли різниця між ними мала, а тоді, коли різниця між ними ділиться на р.

Критерій дивний, але корисний. Наприклад, 3-адические числа допомагають більш природно вивчати рівняння типу x2 = 3y2, в яких ключовим є множник три.

Р-адические числа «далеко відстоять від побутової інтуїції»,- говорить Шольце. Але з роками вони стали для нього природними. «Тепер для мене речові числа більш складні, ніж р-адические. Я так до них звик, що речові мені здаються набагато більш дивними».

У 1970-х роках математики помітили, що багато задачі про р-адических числах стають легше, якщо розширити ці числа нескінченної вежею числових систем, в якій кожна обертається навколо нижньої р, а р-адические числа знаходяться внизу цієї вежі. «Нагорі» нескінченної вежі знаходиться оборачивающее простір – фрактальний об'єкт, є найпростішим прикладом перфектоидных просторів, які пізніше розробить Шольце.

Шольце поставив собі завдання розібратися, чому ці нескінченні оборачивающие конструкції так сильно спрощують багато завдань, пов'язані з р-адическими числами і поліномами. «Я намагався зрозуміти суть цього явища,- говорить він. – Не існувало єдиного формалізму, який би міг його пояснити».

В якийсь момент він зрозумів, що можливо створювати перфектоидные простору для різноманітних математичних структур. Він показав, що ці простори роблять можливим перемістити питання, пов'язані з многочленами, з миру р-адических чисел у інші математичні області, де арифметика сильно спрощується (наприклад, не треба робити перенос при додаванні). «Саме дивне властивість перфектоидных просторів полягає в тому, що вони чарівним чином можуть переміщатися між двома числовими системами»,- говорить Вайнштейн.

Усвідомлення цього дозволило Шольце довести частина складного твердження з приводу р-адических рішень до полиномам, під назвою «гіпотеза зваженої монодромии», і він оформив це як докторську дисертацію в 2012 році. «Ця робота має настільки далекосяжні наслідки, що вона стала предметом вивчення груп вчених по всьому світу»,- говорить Вайнштейн.

Хелман каже, що Шольце «знайшов самий правильний і простий шлях використовувати всю попередню роботу, і знайшов для цього елегантну формулювання – а потім, оскільки він знайшов дуже правильний інструмент, він зміг піти далеко за межі відомих результатів».

Політ над джунглями

Петер Шольце в червні, на семінарі з геометрії в Броннском університеті

Незважаючи на всю складність перфектоидных просторів, Шольце славиться ясністю своїх доповідей і праць. «Я нічого не розумів, доки Петер не пояснив мені»,- каже Вайнштейн.

За словами Карайани, Шольце намагається пояснювати свої ідеї на рівні, доступному навіть першокурсникам. «Він дає відчуття відкритості і щедрості ідей, — каже вона. – І він робить це не тільки з купкою старших математиків – до нього має доступ велика кількість молодих людей». Як говорить Карайани, дружня і відкрита манера Шольце робить його ідеальним лідером в його області. Одного разу, коли вони разом з Шольце здійснювали складний похід по пересіченій місцевості, саме він бігав навколо і посвідчувався, що всі на місцях, і всіх перевіряв»,- говорить Карайани.

Але, за словами Хелмана, навіть після пояснень Шольце іншим дослідникам складно зрозуміти перфектоидные простору. «Відійдіть з стежки, запропонованої Шольце, і ви опинитеся в джунглях, де все дуже складно». Але сам Шольце «ніколи б не загубився в джунглях, тому що він не бореться з ними. Він завжди дивиться в перспективі, щоб побачити загальну концепцію».

Шольце не заплутується в ліанах, тому що змушує себе літати над ними: так само, як і в коледжі, коли він волів працювати, не роблячи записів. Він каже, що це означає необхідність формулювати свої ідеї найпростішим чином. «Ємність вашої голови обмежена, тому занадто складні речі в ній робити не вийде».

У той час як інші математики тільки починають розбиратися з перфектоидными просторами, одні з найбільш далекосяжних відкриттів у цій області, що не дивно, були зроблені Шольце і його співавторами. Результат, який був опублікований в 2013 році, «привів співтовариство в ступор», як каже Вайнштейн. «Ми навіть не уявляли собі, що така теорема може з'явитися».

Результат Шольце розширив область дії правил, відомих як закони взаємності, керуючих поведінкою поліномів, що використовують арифметику по модулю (або годинну арифметику — не обов'язково 12-годинну). Арифметика по модулю (в якій, наприклад, 8 + 5 = 1, якщо у циферблата 12 годин) – найприродніша і популярна для вивчення система кінцевих чисел в математиці.

Закони взаємності – узагальнення закону взаємності квадратичних відрахувань, відкритого 200 років тому. Це наріжний камінь теорії чисел, і одна з улюблених теорем Шольце. Закон стверджує, що для двох простих чисел p і q, у більшості випадків p буде повним квадратом в модульної арифметики по модулю q, коли q буде повним квадратом в модульної арифметики за модулем p. Наприклад, 5 – повний квадрат на циферблаті з 11 годинами (модульної арифметики за модулем 11), оскільки 5 = 16 = 42, а 11 – повний квадрат на циферблаті з 5 годинами, оскільки 11 = 1 = 12.

«Для мене це несподівано,- каже Шольце. – На перший погляд, ці дві речі не пов'язані один з одним». За словами Вайнштейна, «більшу частину сучасної алгебраїчної теорії чисел можна уявити, як спроби узагальнення цього закону».

В середині ХХ століття математики відкрили неймовірну зв'язок між законами взаємності і зовсім, здавалося б, інший областю – гіперболічної геометрії візерунків, таких, як знамениті плитки ангели/дияволи Ешера.



Ця зв'язок – центральна частина «Програми Лангланда», набору пов'язаних між собою гіпотез і теорем, що стосуються взаємозв'язків теорії чисел, геометрії та аналізу. У разі, коли гіпотези вдається довести, що вони виявляються дуже потужними інструментами: наприклад, доказ Великої теореми Ферма ґрунтується на вирішенні однієї невеликий (хоча і нетривіальною) частини Програми.

Математики поступово усвідомлювали, що програма Лангланда поширюється набагато далі гіперболічного диска; її також можна вивчати в гіперболічних просторах вищого порядку й у багатьох інших контекстах. Шольце показав, як поширити її на широкий набір структур у «гиперболическом три-просторі» – тривимірному аналогу гіперболічного диска – і далі. Побудувавши перфектоидную версію гіперболічного три-простору, Шольце відкрив цілий набір нових законів взаємності.

«Робота Петера повністю змінила уявлення про те, що можна зробити і чого ми можемо досягти»,- каже Карайани. Вайнштейн говорить, що результат Шольце показує, що програма Лангланда «глибше, ніж ми думали… більш систематична і всюдисуща».

Перемотування


Обговорювати математику з Шольце – ніби консультуватися з оракулом, каже Вайнштейн. «Якщо він говорить: „Так, це спрацює“, то можна бути впевненим у цьому. Якщо він говорить „ні“, потрібно відразу здаватися; якщо він говорить, що він не знає (що буває) ну, тоді вам пощастило, у вас з'явилася цікава задача».

Карайани каже, що співпрацювати з Шольце не так складно, як це може здатися. Коли вона працювала з ним, у неї ніколи не було відчуття поспіху. «Начебто ми завжди робили все правильно – якимось чином доводили саму загальну теорему з можливих найкращим способом, створюючи правильні побудови, що проливають світло на речі».

Правда, одного разу Шольце все-таки поспішав – намагаючись закінчити роботу в кінці 2013 року до народження своєї доньки. За його словами, добре, що він тоді поспішав. «З тих пір я особливо нічого не зробив».

Ставши батьком, він почав більш дисципліновано ставитися до свого графіку. Але йому не треба спеціально відмовлятися від часу для досліджень – він просто заповнює порожнечі між іншими обов'язками. «Математика – це моя пристрасть. Мені весь час хочеться думати про неї». При цьому він не схильний романтизувати цю пристрасть. Коли його запитали, що значить бути математиком, він завагався. «Це звучить занадто по-філософськи».

Він любить приватність, і відчуває себе незручно від зростаючої популярності (наприклад, у березні він став наймолодшим лауреатом премії Ляйбніца, дає 2,5 мільйона євро на подальші дослідження). «Іноді це вже занадто,- каже він. – Я намагаюся зробити так, щоб це не впливало на мою повсякденне життя».

Шольце продовжує вивчати перфектоидные простору, а також досліджує інші області, зокрема, алгебраїчну топологію – вона використовує алгебру для вивчення форм. «За останні півтора року Петер повністю оволодів цим предметом,- каже Батт. – Він змінив методи роздуми над цією темою, що використовуються експертами».

Батт каже, що інші математики відчувають одночасно страх і наснагу, коли Шольце стосується їх галузі діяльності. «Це означає, що тепер тема почне розвиватися дуже швидко. Я в захваті від того, що він працює в області, що прилягає до моєї, і я прямо-таки бачу, як межі знання просуваються вперед».

Сам Шольце вважає свою роботу простий розминкою. «Я поки перебуваю у фазі вивчення того, що вже є, і просто формулюю знання по-своєму,- каже він. – Мені поки не здається, що я вже почав займатися дослідженнями».
Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.