Пропорції в мистецтві. Чи є щось краще золотого перетину? Дослідження більше 1 000 000 старих і сучасних картин


Переклад поста Майкла Тротта (Michael Trott) "Aspect Ratios in Art: What Is Better Than Being Golden? Being Plastic, Вкорінений, or Just Rational? Investigating Aspect Ratios of Old vs. Modern Paintings".
Код, наведений у статті, можна завантажити тут.
Висловлюю величезну подяку Кирилу Гузенко KirillGuzenko за допомогу в перекладі і підготовці публікації

Зміст
Передмова: золотий перетин — гарна математична концепція
Робота Фехнера 1876 року про естетичність прямокутників і співвідношеннях сторін у картинах
Легкий старт: аналіз «Artwork» — області бази знань Wolfram Knowledgebase
Перша частина: особливості імовірнісного розподілу співвідношень сторін
Співвідношення сторін для різних століть, жанрів і художників
Аналізуючи п'ять старих німецьких музейних каталогів
Колекція Кресу: чотири великих PDF файлу
У нас представлені колекції таких галерей: Метрополітен (Metropolitan), інститут мистецтв Чикаго, Ермітаж, Національна Галерея (National Gallery), Рейксмюзеум (Rijks) і Тейт Британія
Виняток у співвідношеннях сторін: Національна портретна галерея
Веб-галерея образотворчих мистецтв: зручна база даних, готова до використання
Примітка II: важливість точності у вимірах
WikiArt: ще один великий веб-ресурс
Колекція Французького державного музею
Картини в італійських церквах: висота є всі
Смитсоновская колекція
Велика колекція картин у Великобританії
Нинішній ринок витончених мистецтв: раціональніше ніж коли-небудь
Продані картини: більшість написані нещодавно, а у розподілу довгий хвіст
Схід: всі показники відрізняються
Пропорції пакетів, автомобілів, етикеток, логотипів, емблем, паперу, банкнот, поштових марок та фільмів
Продукти з супермаркету
Винні етикетки
Етикетки німецьких сортів пива
Логотипи продуктів харчування
Банкноти
Розміри автомобілів
Паперові листи
Марки
Емблеми команд NCAA (Національної асоціації студентського спорту)
Емблеми німецьких футбольних клубів
Формати фільмів
Висновок: так яке співвідношення саме «краще»?
Картини великих майстрів — чи не найпрекрасніше з людської спадщини. Ними дорожили і захоплювалися, дбайливо зберігали і продавали за сотні мільйонів доларів, і, можливо, не випадково вони є головною метою викрадачів предметів мистецтва. Їх композиції, кольору, деталі, теми можуть тримати нас в замилуванні й уваги годинами. Але що можна сказати про відношення їх зовнішніх розмірів — висоти до ширини?

У 1876 році німецький вчений Густав Теодор Фехнер вивчав людське сприйняття прямокутних форм, а після уклав, що прямокутники з золотою пропорцією (те ж, що і золотий перетин) найбільш приємні для ока. Щоб перевірити свої експериментальні спостереження, Фехнер також проаналізував співвідношення більше десяти тисяч картин.

Трохи більше дізнатися про Фехнере нам допоможе наступний код:



За мірками 1876 року Фехнер виконав приголомшливу роботу, і ми можемо повторити деякі фрагменти його аналітичної роботи, використовуючи можливості сучасного інформаційно насиченого світу — з технологіями великих даних, інфографікою, чисельними моделями, системами знань наукового і цифрового світів.

Після огляду золотої пропорції і висновків Фехнера, ми розглянемо співвідношення сторін у різних групах картин і підсумкове розподіл, а також найбільш популярні співвідношення. Ми дізнаємося про тенденції останнього століття в області співвідношень сторін і розглянемо те, як воно стало більш раціоналістичним.

Передмова: золотий перетин — гарна математична концепція
Золотий перетин φ = (1+ ) /2≈1.618033988… — особливе число в математиці. У двійковій або десятковій формі послідовність його чисел виглядає більш або менш випадковою:



Його подання у вигляді ланцюгового дробу настільки ж лаконічно і красиво, як і отримується математичне вираз:



Можна записати його в більше явній формі:



Іншим схожим поданням є така ітерація квадратного кореня:



Хоча це і прості квадратні корені, проте золотий перетин — особливе число. Наприклад, це саме погано приближаемое ірраціональне число:



Ось графік, що показує послідовність q ∙ |q ∙ ϕ – round(q ∙ ϕ)|. Значення членів послідовності завжди більше, ніж 1/5^½:



Крім того, ми можемо показати наближення до золотого перерізу, беручи послідовні частини ланцюгового дробу:



Візуалізація визначає золотого перерізу рівняння 1 + 1 / φ = φ показана нижче. Воно задає відношення показаних відрізків (червоний відрізок має довжину 1 / φ, синій — 1).



Нижче представлено широкий і високий прямокутники зі співвідношеннями сторін, рівними золотого перерізу та 1/золотий перетин відповідно.



І не дивно, що настільки красиве з точки зору математики число часто використовувалося для створення естетичних форм. Історія золотого перерізу сягає в глибину століть. Воно було математично описано ще Евклидом, і знамениті малюнки да Вінчі були засновані на золотому перерізі.

На сайті Wolfram Demonstrations Project є близько дев'яноста інтерактивних документів, зав'язаних на використання золотого перетину. Особливо варто звернути увагу на Мону Лізу і золотий прямокутник, золоту спіраль.



Золотий перетин часто зустрічається в природі. Версія золотого перерізу для кутів є так званий золотий кут, який розбиває коло на дві частини, довжини яких мають відношення, рівне золотого перерізу:



Золотий кут, наприклад, можна зустріти в филлотаксисных моделях:



В роботі M. Akhtaruzzaman and A. Shafie наводиться дуже довгий список того, де в природі і рукотворних об'єктах зустрічається золотий перетин.

Тим не менш, універсальність золотого перерізу в мистецтві часто переоцінюється. Самі популярні омани наведені в роботі за авторством Markowsky.

Надалі ми часто будемо стикатися з квадратним коренем із золотого перерізу. Якщо розглядати та комплексні числа, то інша, досить проста ланцюгова дріб дасть квадратний корінь з золотого перерізу в складі своєї дійсної та уявної частини (— прим. ред.):



Сам термін золотий перетин вперше був використаний Мартіном Омом — братом відомого фізика Георга Ома — в своїй книзі в 1835 році.

Робота Фехнера 1876 року про естетичність прямокутників і співвідношеннях сторін у картинах
У першому томі часто цитованої роботи Vorschule der Aesthetik (1876), Густава Теодора Фехнера — фізика, психолога-експериментатора і філософа — обговорюється сприйняття людиною золотого перерізу.

В наші дні Фехнер, ймовірно, найбільш відомий законом про суб'єктивність сприйняття відчуттів (інтенсивність відчуття прямо пропорційна логарифму інтенсивності подразника), який носить назву закон Вебера-Фехнера:



У главі 14.3 (том 1) своєї книги Фехнер міркує про естетику в співвідношеннях сторін прямокутників. Опитавши 347 людей, кожному з яких було запропоновано на вибір 10 прямокутників з різними співвідношеннями сторін, найпопулярнішим виявився з співвідношенням сторін 34/21, і це співвідношення відрізняється від золотого перерізу менш ніж на 0,1%. Нижче представлена цитована донині, однак рідко зустрічається у виданнях, таблиця з результатами Фехнера:



У 33 глави другого тому обговорюються розмір картин, у главі 44 наводиться докладний аналіз (на 41 сторінку) 10 558 картин з 22 європейських галерей. Цікаво вийшло — Фехнер виявив, що типове відношення висоти і ширини для живопису сильно відхиляється від очікуваного золотого перетину.

Фехнер провів детальний аналіз 775 картин на мисливську і військову тематику, і більш грубий аналіз для решти 9 783 картин. Нижче представлені результати для картин на мисливську і військову тематику (Genre), пейзажів (Landschaft) і натюрмортів (Stillleben). В таблиці висота позначається як h, а ширина b. А V. M. є співвідношення h/b або b/h:



І ось, в наші дні, ми можемо повторити його аналіз, використовуючи сучасні засоби і знання.

Більш докладно ознайомитися з зміненими версіями експерименту Фехнера допоможуть роботи McManus (тут і тут, McManus et al., Konecni, Bachmann Stieger і Swami, Friedenberg, Ohta, Russel Green, Davis and Jahnke, Phillips et al., Höge. Jensen нещодавно проаналізував картини з бази CGFA, але використовуються дискретні значення висоти і ширини (з аналізу кількості пікселів в зображеннях) не дозволяють отримати великомасштабну структуру розподілу співвідношень сторін, і тим більше отримати явні екстремуми (нижче буде наведено аналіз тестового безлічі зображень).

У той час як Фехнер зробив детальний аналіз кількісних інваріанти (середні значення, медіани та інше) для співвідношень сторін картин, він не досліджував загальну форму розподілу співвідношень сторін, так само як і розподіл локальних максимумів в цьому розподілі.

Легкий старт: аналіз «Artwork» — області бази знань Wolfram Knowledgebase
Однією з предметних областей функції EntityValue "Artwork" (предмети мистецтва). Тут ми можемо отримати назви робіт, імена художників, дати закінчень робіт над картинами, а також значення ширини та висоти кількох тисяч картин. Картини доступні як клас об'єктів з області "Artwork" в Wolfram Knowledgebase (базі знань Wolfram):



Ось типовий приклад одержуваних даних:



Картини мають найрізноманітніше співвідношення сторін — як дуже широкі, так і досить витягнуті вертикально. Нижче представлений колаж з 36 зображень картин, відсортованих за їх співвідношенням сторін (відношення ширини до висоти). Кожне зображення представляється в сірому квадраті з червоною облямівкою:





Більшість картин мають співвідношення сторін в діапазоні від 1/4 до 4. Ось приклади дуже витягнутих по ширині або висоті картин:



Ми можемо отримати уявлення про найбільш поширених тематиках картин, склавши з них хмара слів:



Тепер, коли ми завантажили всі зображення, давайте їх розглянемо. Можна взяти середні значення всіх кольорів для кожної картини і розмістити їх на кольоровому трикутнику RGB:



Перш ніж аналізувати пропорції h/b більш детально, давайте розглянемо їх твір, що дасть нам площа картини. (У згаданій вище роботі Фехнера багато уваги приділялася цьому питанню.)

Розмістимо тепер всі картини на площині (по горизонталі — співвідношення сторін, по вертикалі — площа картини). Так як розміри картин сильно варіюються, ми будемо використовувати логарифмічну шкалу по вертикалі. Додамо також спливаючі підказки, які будуть показувати картину і її параметри для кожної з точок:



Нижче представлена гістограма розподілу співвідношень сторін.

Починаючи з цього моменту, слідуючи визначенню в Wolfram Language, будемо вважати, що
співвідношення сторін = висота / ширина,
а не навпаки. Як було показано вище, Фехнер дотримувався такого ж визначення.



Давайте тепер розглянемо гістограму співвідношень сторін більш докладно. За формою цього розподілу можна сказати, що воно тримодальное. Для широких картин (ширина > висоти) співвідношення менше одиниці, для квадратних картин співвідношення буде близько одиниці, а для високих картин (висота > ширини) співвідношення, відповідно, більше 1. Широкі і високі картини дають свої піки; також можна спостерігати менш виражені піки.

Не було несподіваним отримати тримодальную структуру для широких, високих і квадратних картин. У зв'язку з цим природним чином виникають два питання:

1) Які значення локальних піків?

2) Яка приблизна загальна форма розподілу (нормальний, логнормальний і т. д.)?

У 1997 році Shortess, Clarke і Shannon проаналізували 594 картини і більш детально вивчили околиця точки максимуму розподілу. У згоді з роботою Фехнера від 1876 року, локальний максимум розподілу max(h/b, b/h) лежить в точці 1.3. Число 1.3 явно відрізняється від золотого перетину і автори припускають, що, ймовірно, значенням цього максимуму є або число Піфагора (4/3), або пластичне число (пластична константа, срібне переріз).

Пластичне число є позитивне дійсне рішення рівняння x3 – х – 1 = 0:



Пластичну постійну ввів Dom Hans van der Laan в 1928 році в якості спеціального числа в контексті естетичності тривимірних (але не двовимірних) форм. Представлена радикалів, пластична постійна ℘ має досить складний вигляд:



«Якість» графіка, отриманого на основі аналізу 594 картин, виявилося недостатньо, щоб розрізнити ℘ і 4/3, в результаті чого Shortess, Clarke і Shannon припустили, що максимум співвідношення сторін лежить в "платинової константі" (введений ними термін), значення якої приблизно дорівнює 1.3. В їх роботі так само не були виявлені які-небудь дрібні деталі структури графіка розподілу співвідношення сторін.

Примітка: ця «платинова константа» не має відношення до платиновому перерізу, яке використовується в чисельному аналізі.

(Існує цікава математична залежність між золотим перетином і пластичної постійної: золотий перетин є точкою найменшого скупчення чисел Пизо, а пластична постійна є найменше з чисел Пизо, але ми надалі не будемо торкатися цієї зв'язку).

Якщо ми зменшимо ширину прямокутників гістограми, то зможемо побачити принаймні по два максимуму для широких і високих картин:



Якщо ми розглянемо інтегральну функцію розподілу, то можемо помітити, що число квадратних картин досить мало. Квадратним картинам відповідає невеликий вертикальний стрибок при співвідношенні сторін, рівним одиниці:



Давайте тепер порівняємо розподілу співвідношень сторін високих і широких картин; для цього інвертуємо співвідношення «високих» і сумісний з «широкими». Дуже добре поєднуються максимуми в точках 0.8 (глобальний) і 0.75 (другий максимум):



Ось як співвідносяться згладжені розподілу і максимуми співвідношень сторін широких і інвертованих високих картин:



Квантильный графік нижче ілюструє схожість наших розподілів:



Чи можна отримати максимуми в чисельній формі і асоціювати їх з якимись конкретними числами? Нижче наведено вищезазначені константи і ще три додаткові: квадратний корінь з золотого перерізу, 5/4 та 6/5:



З усіх можливих констант ми вибрали квадратний корінь з золотого перетину з тієї причини, що вона природним чином з'являється в так званому трикутнику Кеплера. Співвідношення його сторін дорівнює :



Теорема Піфагора не менш важлива для квадратного кореня з золотого перерізу. Трикутник Кеплера стає визначальним рівнянням для золотого перерізу:



Shortess та інші включали дріб 4/3 як пифагорейскую постійну, оскільки це число є відношенням двох найменших сторін піфагорова трикутника за довжинами сторін 3, 4, 5 (32 + 42 = 52).

А дріб 6/5 була включена тому, що, як ми побачимо надалі, це співвідношення сторін часто зустрічається в картинах за останні 200 років.

Розподіл співвідношень сторін у картинах разом з вибраними константами показує, що найбільший пік, імовірно, лежить в значенні кореня з золотого перерізу, а менший пік — де-то в діапазоні 1.32… 1.33.

Ось список констант-претендентів на точне значення максимуму. Ми використовуємо цей список при подальшому аналізі співвідношень сторін у різних групах картин. Давайте проілюструємо ці співвідношення:



На графіку нижче наведені шість констант, розташованих на числовій прямій. Різниця між пластичної постійної і 4/3 є найменшою серед усіх пар з шести обраних констант:





Нижче представлені широкі прямокутники зі співвідношеннями сторін вибраних постояннных:



Для більшої наочності розмістимо ці прямокутники один над іншим:



А ось наведений вище графік із зазначеними на горизонтальній осі константами:



Інші дроби з малими знаменниками будуть зустрічатися в різних групах картин далі, і вони можуть включатися відповідно своїм естетичним критеріям, як, наприклад, 55/45 = 11/9 = 1.(2) (див. тут, тут, тут і тут) або 27/20 = 1.35, або так зване «мета-золотий перетин чі» — рішення рівняння Χ2 – Х / φ = 1 зі значенням 1.35…

Так як дозвіл гістограми досить-таки обмежена, давайте підрахуємо кількість картин, які мають визначене співвідношення сторін, плюс або мінус невелике відхилення. Ми можемо це зробити досить ефективно за допомогою функції Nearest:



Як ми бачимо, можна явно розрізнити два максимуму, більший з яких ближче до квадратному кореню з золотого перерізу, ніж до пластичної постійної або числа Піфагора:



Перша частина: особливості імовірнісного розподілу співвідношень сторін
Перш ніж включити в дослідження більшу кількість художників і картин, давайте уважніше розглянемо розподіл співвідношень сторін.

Всі найбільш вживані середні значення співвідношень сторін «високих» картин більше значення співвідношення сторін, на який припадає максимум:



Ось середні для «широких» картин:



Як співвідносяться широкі картини з високими? Цікаво виходить — їх кількість практично повністю збігається:



Статистики для всіх картин, розглянутих як прямокутників (тобто співвідношення сторін максимум(висота, ширина) / мінімум(висота, ширина)) мають середні, які досить близькі до значень для високих картин:



Як і в розглянутому вище графіку з накладеними один на одного розподілами, розподіл високих картин майже повністю збігається з розподілом для широких картин, в якому інвертовані пропорції. Але яке насправді розподіл для високих (або всіх) картин (див. питання 2 вище)? Якщо ми згладимо наше розподіл, проігноруємо численні малі піки і будемо використовувати меншу роздільну здатність, ми могли б спробувати порівняти наше розподіл з нормальним, логарифмічно-нормальним, з важким хвостом (heavy-tailed distribution) та ін

Щоб уникнути зайвих шумів і артефактів, будемо розглядати лише ті картини, співвідношення сторін яких менше, ніж 4:



Функція SmoothKernelDistribution дозволяє згладити кілька максимумів і отримати плавний розподіл (графік ліворуч). Побудовані в логарифмічних (log-log) координатах функція ризику(f(a)/(1-F(a))) і функція 1/а дають нам натяк на те, що розподіл з важким хвостом є найкраще наближення:



Подивимося, як можна підігнати (fit) наше розподіл під нормальне і логнормальний:



А ось розподілу з важким хвостом:



Так як співвідношення висота/ширина має повільно регресний хвіст, нормальний, логнормальний і екстремальне розподілу (extreme value distribution) є поганими моделями. Діапазон співвідношень сторін між 1.4 та 2 явно на це вказує:



Чотири розподілу з повільно зменшувальними хвостами в цілому значно краще описують наше розподіл:



Якщо ми кількісно оцінимо наші моделі з використанням логарифмічної міри подібності, то побачимо, що обрізану розподіл з важким хвостом підходить найкраще:



Розподіл співвідношення сторін має цікаву властивість: вище ми бачили, що розподілу широких і високих картин після відповідного перетворення дуже близькі за формою. Це означає, що їх максимуми співпадають, принаймні, приблизно. Але поєднання розподілу p(x) високих картин з 0 < x <1 та p(x) широких картин при 1 < x < ∞, дасть нам, що p(x) = p(1/x)/x2. Але в той же час для максимумів від p(x) и від p(x) має місце співвідношення ≈1/. Цікаво, що для параметрів, знайдених для відповідних моделей розподілів це властивість виконується з точністю до 2%. У коді нижче ми отримуємо відмінність у положенні максимумів для бета-простого розподілу (beta prime distribution) (результати для стійких розподілів майже однакові).



Співвідношення сторін для різних століть, жанрів і художників
Тепер перед нами постає питання: як наше тримодальное розподіл змінювалося в часі, від жанру до жанру, в залежності від художників?

Давайте розглянемо залежність від часу, згрупувавши картини за століттям (вважаються року закінчення роботи над картиною). Можна зауважити, що принаймні з чотирнадцятого століття, високі картини часто мали співвідношення сторін близько 1.3, широкі картини мали співвідношення сторін близько 0.76, а квадратні картини стали популярними лише порівняно недавно. Також можна побачити, що для високих картин розподіл має плоску форму у шістнадцятому, сімнадцятому та вісімнадцятому століттях, якщо порівнювати з розподілом для дев'ятнадцятого століття (ми побачимо аналогічні тенденції в інших базах картин):



Медіана співвідношень сторін всіх картин знизилася за останні 500 років і стала дорівнює трохи більше, ніж 1.3. (тут ми визначаємо співвідношення сторін як відношення довжини більш витягнутої боку до меншої сторони). Середня також знизилася і, здається, зафіксувалося в районі 1.35:



Для порівняння, ось розподіл площ картин (у квадратних метрах) і те, як воно змінювалося протягом століть:



Останні 450 років медіана площі картин була досить стабільною, і дорівнювала приблизно 2 м2:



А що можна сказати про співвідношеннях різних художніх течіях? WikiGallery містить досить наочну інформацію про напрямки в образотворчому мистецтві. Ми імпортуємо сторінку і отримаємо список напрямків, а так само те, скільки картин у кожному з них подано:



На жаль, інформація про розміри доступна не для всіх картин. Імпорт всіх сторінок з картинами та вилучення даних по висоті і ширині з розміру мініатюр дозволяє будувати з тією чи іншою точністю розподілу пропорцій для кожного стилю або жанру.

Переважна більшість напрямків демонструють виражені бімодальні розподілу з піками у співвідношеннях сторін близько 1.3 і 0.76 (напрямки сортуються за загальною кількістю картин, представлених на відповідних сторінках Wiki).



Давайте знову задіємо Вікіпедію і розглянемо співвідношення сторін у різних художників:



І нехай загальна кількість картин на гістограму тепер значно менше, ми все одно можемо виявити бимодальную (для квадратних картин пік пропав) форму розподілу. І знову можна помітити виражені максимуми в точках 1.3 для високих і 0.76 для широких картин.



Знову-таки розподілу містять гострі піки. Деякі художники, такі як Сезанн, воліли стандартні розміри полотна (для більш докладного дослідження розмірів полотна, які використовував Френсіс Бекон, див. тут.

Давайте також розглянемо більш сучасного художника — Томаса Кінкейду, «художника світла». Сучасні картини використовують стандартні матеріали і реалізуються у визначених розмірах і співвідношеннях сторін, так що форма і розмір картини здебільшого визначаються стандартами, ніж естетикою. Тому на цей раз ми будемо орієнтуватися не на текстові дані зображення, а самі зображення, отримуючи дані про їх розмірах виходячи з їх піксельного дозволу. Навіть якщо використовувати мініатюри, розподіл співвідношень сторін буде цілком коректним:



В доповнення до нашого типовому максимуму ~1.3, можемо спостерігати виражений максимум близько 3/2 — вельми ймовірно, це артефакт стандартизації:



Аналізуючи п'ять старих німецьких музейних каталогів
Наведені вище гістограми показують, принаймні два максимуму для високих картин, а також два максимуму для широких картин, з великим піком поруч з квадратним коренем із золотого перерізу. Оскільки ми не знаємо, які були критерії відбору для художніх робіт, включених у «Artwork» — області Entity, — ми повинні перевірити нашу гіпотезу на деяких незалежних добірках картин.

Доступним джерелом за розмірами картин є музейні каталоги. Різні старі каталоги, схожі на ті, якими користувався Фехнер, доступні в відсканованих і розпізнаних формах. Ось приклади:

Ми просто імпортуємо з каталогів тестові розпізнані версії. У різних каталогах довжина і ширина картин можуть представлятися по-різному, проте в межах одного каталогу зазвичай ці параметри містяться в одному виді. В результаті, подивившись на те, в якій формі подаються дані, не представляється складним завданням витягти дані про розміри з допомогою строкових шаблонів.



Каталог музею Кайзера Фрідріха (нині Музей Боде):



Каталог з Пінакотеки в Мюнхені (нині Стара Пінакотека):



Каталог з музею der bildenden Künste zu Stuttgart (нині Державна галерея Штутгарта):



Каталог з Gemäldegalerie в Дрездені (нині Галерея старих майстрів Дрездена):



Каталог Gemäldegalerie zu Cassel (нині Neue Galerie Kassel):



Для всіх п'яти музеїв результати дуже схожі:



Додамо нові дані з цих п'яти каталогів і побудуємо все це разом константами, позначеними вертикальними лініями:



І знову ми спостерігаємо два глобальних максимуму в розподілі співвідношень сторін. Для високих картин ми отримуємо досить рівний максимум, без чітко простежуються локальних мінімумів.

(Сайт archive.org містить і більш старі каталоги живопису, наприклад, каталоги Schloss Schleissheim, колекції Бертольд Захарії, колекції Національної галереї Баварії та багато інших. Розподілу співвідношень сторін картин в цих каталогах дуже схожі на ті, що ми зараз аналізуємо).

Колекція Кресу: чотири великих PDF файлу
Відомою колекцією живопису є колекція Кресу. Окремі зображення знаходяться в багатьох музеях в США. Але, на щастя (для нашого аналізу), дані по перебувають в каталозі картинам доступні в чотирьох докладних каталогах у вигляді PDF документів — у сумі це близько 900 сторінок опису картин. (Велика частина даних, аналізованих у цій статті, відповідає виключно творів західного мистецтва. Щодо східних переваг в мистецтві — можна подивитися недавню роботу Zheng, Weidong і Xuchen).

Імпортувати PDF файли в текстовій формі і витягнувши звідти значення співвідношень, ми отримаємо близько 700 нових точок. (З цього моменту я більше не буду приводити код імпорту даних з різних сайтів; часто час завантаження всіх даних дуже велика, і повторити завантаження по-швидкому не вийде).



На цей раз ми спостерігаємо локальні максимуми поблизу кореня з двох і золотого перетину.

У нас представлені колекції таких галерей: Метрополітен (Metropolitan), інститут мистецтв Чикаго, Ермітаж, Національна Галерея (National Gallery), Рейксмюзеум (Rijks) і Тейт Британія
Для того, щоб упевнитися в існуванні явних максимумів та їх положень у розподілі співвідношень сторін, давайте розглянемо ці розподілу за відомими світовими музеями.

Музей мистецтва Metropolitan має відмінний онлайн-каталог. Задавши критерій для пошуку картин як «полотно і масло», ми можемо витягти їх пропорції.

На цей раз, глобальний максимум, здається, трохи не доходить до 1.27:



Інститут мистецтв Чикаго має зручний пошук, що дозволяє знайти, наприклад, картини, зроблені в період з 1600 по 1800 рр. Отримані дані дають нам ще близько 1200 точок, а глобальний максимум знаходиться дуже близько до кореня з золотого перерізу:



Сайт Ермітажу дуже зручний для аналізу і містить інформацію про 3400 картинах зі своєї колекції. Аналіз співвідношень сторін знову показує два різних максимуму для високих картин:



Наша четверта колекція для аналізу — картини з Національної галереї. Розподіл помітно відрізняється від попередніх:



Щодо незвичайне розподіл йде разом з наступним розподілом віку картин. У цій колекції ми бачимо максимум на картинах 16-го століття, що сильно відрізняє її від інших:



Рейксмюзеум в Амстердамі представляє ще одну велику колекцію старих картин. Ось розподіл співвідношення сторін для 4600 картин з цієї колекції:



У шостому прикладі розглянемо картини з колекції Тейта. Велика частина з 8000+ картин колекції Тейта є відносно новими. Ось їх розподіл за роками:



Розподіл співвідношень сторін досить добре, але не ідеально, співвідноситься з нашими константами:



А з накладенням таких дробів, як 6/5, 5/4, 9/7, 4/3 і 3/2, ми отримаємо хороші наближення локальних максимумів для високих картин (тут ми використовуємо трохи менший розмір стовпця діаграми для кращого дозволу).



Використання заснованих на Nearest рішень з кращою роздільною здатністю в межах невеликого діапазону показує, що максимуми ширін і висот картин лежать на раціональних числах 6/5, 5/4, 9/7, 4/3, 3/2, і їх зворотних (ми використовуємо округлення співвідношення сторін до 0.01).



Існує невелика залежність в положеннях піків від розміру зазору, що використовується у Nearest:



Зверніть увагу, що ми вказували вертикальні лінії на дробах у наведеному вище графіку. В межах 1% від 9/7 ми знаходимо квадратний корінь з золотого перерізу і такий дробу, як 14/11. Таким чином, вирішити, яке з чисел є реальним максимумом з поточними даними і точністю не представляється можливим:



Колекцію Тейта виділяє дещо унікальне, і це дещо-що є дуже важливим у нашому дослідженні. Ось два приклади з даними з цієї колекції:



Зверніть увагу на дуже точні вимірювання розмірів картин, аж до міліметрів. Тобто цей набір даних є дуже надійним, а крива в розподілі співвідношення сторін дасть нам дуже точні значення максимумів.

Виняток у співвідношеннях сторін: Національна портретна галерея
Національна портретна галерея містить десятки тисяч портретів.

Не представляє складності імпортувати окремі веб-сторінки разом з розмірами:



Не дивно, що портрети мають в середньому значно більш рівномірне співвідношення сторін, ніж пейзажі, картини мисливських, військових та інших тематик. На цей раз ми отримуємо значно більше унимодальное розподіл. Нижче наведена гістограма для приблизно 45 000 співвідношень сторін:



Збільшивши область максимуму, ми зможемо побачити, що дуже велика частина має співвідношення сторін 6/5. Другий максимум припадає на 5/4, а третій на 4/3:



У той час як золотий перетин частіше використовується для центральної частини обличчя людини (див., наприклад, тут, тут, здесь)більшість портретів зображують всю голову людини. Враховуючи, що середнє співвідношення висота/ширина людського обличчя (за винятком вух і волосся), дорівнює 1.48, спостерігається максимум при 1,2 не здається несподіваним. Для більш детального дослідження осіб у живопису рекомендую подивитися де ла Роса і Суарес.

Веб-галерея образотворчих мистецтв: зручна база даних, готова до використання
Проаналізований набір даних поки що не дозволяє точно визначити положення максимуму. Тому є дві причини: мало картин в наборах даних і розміри картини часто недостатньо точні. Так давайте візьмемо більший набір. Веб галерея образотворчих мистецтв — угорський сайт, який дає можливість завантажити набір даних по картин у вигляді таблиці файлом формату CSV.

Файл використовує крапку з комою в якості роздільника, так що ми повинні витягувати стовпці написавши свій парсер, а не за допомогою Import:



Нам доступні такі дані:



А ось як виглядає звичайний запис. Розміри в форматі висота х ширина:



Більшість з наведених творів, на щастя, картини:



Витягуючи картини з даними за розмірами (не всі картини містять інформацію про розмірах), отримуємо 18 800+ точок даних:



Побудувавши всі довжини та ширини з набору даних, отримаємо наступну діаграму:



Округливши значення до одного сантиметра, ми отримаємо наступну гістограму для всіх ширін і довжин. Можна помітити численні виражені піки і дискретні довжини:



Діаграма фактичних розмірів картин показує, що багато картини менше, ніж 140 см у висоту і/чи ширину:



Контурний графік згладженої версії двовимірного розподілу щільності ширін і висот містить два виражених «хребта» для широких і високих картин:



Дивлячись на значення довжин можна помітити числа, кратні 5 см і 10 см, однак більша частина чисел не виглядає так, як ніби значення після вимірювань округляли:



Наступна ілюстрація показує, як змінювалися найбільш поширені довжини і ширини картин з плином часу:



Побудувавши ширини і висоти, відсортовані за століттям, можна помітити, що багато з найвищих піків беруть свій початок в дев'ятнадцятому столітті. (Зверніть увагу на набагато меншу вертикальну шкалу для картин з двадцятого століття.)



Для подальшого порівняння нам знадобиться отримати модель розподілу ширін картин. Округлимо значення з точністю до 5 см для того, щоб позбутися від локальних піків:



Покажемо розподілу віку картин з цього набору даних (в оригіналі статті прикладена невірна картинка (дубль попередньої), що було виправлено — прим. ред.):



Проаналізуємо цей набір даних, побудувавши всі співвідношення сторін разом з їх кратними числами:



Щоб мати можливість представити дуже близькі кратні числа співвідношень сторін, виберемо ширину стовпців гістограми дорівнює 0.02:



Тепер уявімо кожне співвідношення у вигляді деякої дробу таким чином, щоб помилка становила менше одного відсотка. Як будуть розподілені подібні апроксимуючі дробу? Наступний графік являє розподіл на логарифмічної осі. Цікаво відзначити, що велика частина картин в співвідношеннях максимум(ширина/висота) / мінімум(ширина/висота) та мінімум(ширина/висота) / максимум(ширина/висота) часто містять знаменники 3, 4 і 7, а 6 і 18 практично відсутні:



Для порівняння, ось відповідні графіки для 20 000 рівномірно (у проміжку [0,2]), розподілених чисел:



Ось функції розподілу картин з вибраними співвідношеннями сторін:



Якщо побудуємо частки картин з відповідними співвідношеннями сторін від загального числа картин, то ми як і раніше будемо бачити збільшення картин із співвідношенням сторін 5/4, притому частки решти картин істотно не змінюються:



Якщо не брати значення розмірів як точні, а припустити, що вони є точними лише до ± 1%, то ми отримаємо зовсім іншу картину. На наступному малюнку показано розподілу картин із заданим значенням точного значення співвідношення сторін картин з прийнятим нами відхиленням. У 16-му столітті всі основні співвідношення сторін були розповсюджені приблизно однаково. Можна помітити, що співвідношення 5/4, 4/3 і 9/7 стали помітно більш популярними в 17-ом столітті. А пропорції, близькі до золотого перерізу, зменшили популярності з 13-го століття. Даний графік не чутливий до процентному зміни ширини; зміни до ± 5% дадуть дуже близькі результати.



Так що можна сказати про знаменателях в найбільш поширених співвідношеннях? Сформуємо всі дроби з максимальним знаменником 16 і відобразимо всі співвідношення до найближчих з цих дробів. З-за нерівномірних проміжків між вибраними раціональними числами нам слід привести число співвідношень сторін, відповідних кожній з дробів, у відповідності з відстанню до найближчої меншою і більшою дробу. Графік дає уявлення про зустрічаються співвідношеннях, що є доповненням до побудованій гістограмі. У гістограмі використовуються стовпчики рівної ширини; а у наведеному нижче графіку використовуються нерівні стовпці, і прилеглі мінімуми і максимуми не можуть перекривати один одного. Знову-таки, 5/4 і 4/5 — лідери загального змагання:



Ми знову скористалися функцією Nearest для побудови детального розподілу співвідношень сторін. Наступна функція windowedMaximaPlot будує розподіл або в тривимірному просторі, або як контурний графік з регульованим часовим вікном:



Ось тривимірний та контурний графіки:



Останні два зображення вказують на кілька примітних особливостей:

  • Останні 400 років високі картини часто мають співвідношення сторін близько 1.2.
  • Найбільш поширене співвідношення сторін для широких картин змінилося в середині 18-го століття, а відносно широке розподіл містить кілька виражених максимумів, наприклад у 0.8.
  • Квадратні картини починають набирати популярність з початку 19-го століття.
Labreuche міркує про процес стандартизації полотен. У Франції перша стандартизація сталася в сімнадцятому столітті, а друга — в дев'ятнадцятому (про недавні часи і з великою кількістю математики див. роботу Dinh Dang). Simon обговорює стандартизацію полотна у Великобританії.

Ось розміри для деяких стандартизованих французьких полотен дев'ятнадцятого століття. Дані у форматі
{ширина, {висота портрета, висота пейзажу, висота марини (морського пейзажу)}}:



Співвідношення сторін (максимум(висота/ширина, ширина/висота)) для всіх полотен мають наступний розподіл:



Нелегко знайти великі і точні набори даних за розмірами старих картин. З іншого боку, різні веб-сайти мають десятки тисяч зображень картин як JPG, так і PNG. Може, співвідношення сторін варто просто порахувати через співвідношення кількостей пікселей по ширині і висоті? Вище ми бачили, що більшість картин вимірюється з точністю до приблизно одного сантиметра. З середньою висотою і шириною картин близько одного метра ми отримуємо похибку близько 2%. Навіть зменшені зображення розміром приблизно 100 пікселів або в ширину/висоту в кілька сотень пікселів. Таким чином, можна було б знову чекати результатів, вірних в точності до 1..2%. Але немає ніякої гарантії, що зображення не були обрізані, що рамка була включена в розмір, є чи ні граничні пікселі. Веб-галерея мистецтв має, на додаток до фактичних розмірах картин, їх зображення. Після завантаження зображень і розрахунку співвідношень сторін спробуємо порівняти їх із співвідношеннями, розрахованими на основі реальних висот і ширін картин. Ось підсумкове розподіл двох співвідношень (картин і їх зображень) разом, а також модель даного розподілу, представлена як CauchyDistribution[1.003, 0.019]. Середнє значення від двох піксельних вимірювань — 1.036, стандартне відхилення — 0.38. Ці числа показують, що помилка від використання зображень для визначення співвідношення сторін є надто великою для того, щоб належним чином передати мелкомасштабную структуру розподілу:



В даних dataWGA зберігається інформація і про художників. Змінюється середня співвідношень розмірів в картинах протягом життя художника? Ось розподіл співвідношень картин по ходу життя художників:



Ми можемо побачити загальний шаблон зміни середнього співвідношення сторін для картин художника в залежності від його віку. Перші картини статистично мають більш екстремальні пропорції. Наприкінці першої третини життя співвідношення сторін мінімально, а наприкінці другої третини співвідношення сторін максимально (лівий графік). Сукупна середнє співвідношення сторін показує мінімум на ~0.4 від тривалості життя живописців (графік праворуч). Обидва графіка показують максимум(висота/ширина, ширина/висота), поділений на середнє значення всіх співвідношень сторін. (Зв'язок творчості і віку обговорюється тут).





Читач при бажанні може самостійно провести більш точні виміри деяких картин; тим часом, проведемо деякі розрахунки з даними веб-галереї образотворчих мистецтв. Давайте також розрахуємо і пропонуємо розподіл картин світу. Ми беремо поточні міста, в яких знаходяться картини (які містять дані про ширині і висоті), як їх положення, беремо середнє від усіх картин в цьому місті і представляємо максимум(висота/ширина, ширина/висота) як функцію від міста. Не дивно, що більшість великих колекцій картин не сильно відхиляються від медіани 1.333. Щоб знайти міста і працювати з їх локаціями, будемо використовувати функцію Interpreter:





Примітка II: важливість точності у вимірах
Давайте пильніше досліджуємо значення ширини та висоти. Якщо побудувати діаграму для дробових часток сантиметрів, то ми ясно бачимо, що переважна більшість картин вимірюються з точністю менше 1 див. Лише близько 10% від усіх картин містять дані про розміри, зазначені в міліметрах (і деякі з тих, що вказані з точністю до 5 міліметрів, ймовірно, також округлені):



Давайте пильніше досліджуємо значення ширини та висоти. Оскільки більшість картин були написані до введення сантиметри як одиниці вимірювання, популярні розміри в живопису, ймовірно, не повинні бути кратні сантиметру. Це означає, що виміряні значення висот і ширін не є фактичними значеннями. Втішає лише досить однорідний розподіл міліметрових розмірів частин картин, які були виміряні з точністю до міліметра.

У багатьох проаналізованих наборах даних ширини та висоти картини представляються у вигляді цілих чисел і в сантиметрах. (Явне виключення — набір даних з колекції Тейта, в якій практично кожна картина вимірюється в точності до міліметра). Оскільки ширини та висоти більшості картин в тому ж порядку, що і 100 см, для точного визначення співвідношення сторін округлення до сантиметра — операція відчутна. Як багато з спостережуваних максимумів для різних дробів з малими знаменниками є наслідком неточних значень ширін і висот?

Давайте змоделюємо цей ефект. Функція aspectRatioModelValue моделює співвідношення сторін картин. Ми припускаємо сталий розподіл ширін і те, що розподіл висот є нормальний розподіл із середнім значенням 1.3 xwidth. І ми будемо моделювати тільки високі картини, обмежуючи висоту так, щоб висота була не менше ширини:



Тепер ми виріжемо полотна» для високих картин і подивимося на розподіл пропорцій. Ми робимо це двічі для кожного з 100 000 полотен. Верхній графік містить розподіл, отримане при використанні розмірів в точності до міліметрів. Графік нижче показує, що в 65% всіх випадків вимірювання точні до сантиметра, в 25% до половини сантиметра, і 10% — до міліметра. На кожен з результатів трьох обчислювальних експериментів накладемо гістограму результуючого розподілу:



Порівняння верхнього і нижнього графіків говорить нам про те, що розподіл співвідношення сторін досить гладке у випадку, якщо вимірювання точні до міліметра. Нижня розподіл містить артефакти, викликані точністю вимірювання до сантиметрів.

Дивлячись на досить гладку гістограма для значень міліметрової точності і вищенаведену гістограму співвідношень сторін колекції Тейта можна помітити, що часті появи співвідношень, представимых у вигляді простих дробів — реальний ефект. У той же час, як показано в наведеному вище експерименті з вагами {0,65, 0,25, 0,10}, округлення до сантиметрів штучно посилює вплив деяких простих дробів, таких як 6/5, 5/4, і 3/2.

Ще більш простий спосіб продемонструвати вплив помилок округлення при вимірах співвідношень сторін у наборі даних веб-галереї образотворчих мистецтв — самим поміняти значення ширин і висот. До кожного целочисленному розміром додамо від -5 мм до 5 мм, щоб зімітувати більш точне вимірювання. Знову-таки, як співвідношення сторін будемо використовувати відношення більшої сторони до меншої:



Накладемо тепер початкове розподіл на змінене, де ми змінювали значення ширин і висот. Ми бачимо, що максимуми на деяких раціональних співвідношеннях сильно пригнічуються, однак глобальний максимум близько 5/4 не змінює свого положення, другий максимум — 4/3 — також стабільний, так само як і малий перший максимум — 6/5. У той же час піки на 3/2 і 2 сильно втрачають у висоті:



Зробимо все в зворотній послідовності з набором даних колекції Тейта: округлимо всі ширини та висоти до сантиметра. Знову ж таки, побудуємо початкове розподіл співвідношень сторін разом із зміненим:



У той час як висоти локальних піків змінилися, найбільші піки як і раніше присутні, притому вельми виразно.

WikiArt: ще один великий веб-ресурс
Давайте розглянемо ще один великий веб-ресурс — WikiArt. Для обчислювальних задач цей сайт структурований дуже зручно. Ми маємо список з 900+ художників з гіперпосиланнями на сторінки з їх творами. Кожна картина має свою сторінку, яка містить зручно структуровану інформацію. Ось, наприклад, інформація про картині Мона Ліза:



Зазначимо, що наведені вище дані містять інформацію про стилі та жанрі. Це припускає використання набору даних WikiArt для пошуку можливих залежностей форматів від жанру (стилі ми вже розглядали вище).

У наборі даних є близько 7000 картин з інформацією про їх розмірах. Для стислості, усі дані були закодовані у вигляді одного чорно-білого зображення:



Картини з інформацією про розміри мають наступний розподіл за їх віком. Можна помітити переважна кількість картин з вісімнадцятого і дев'ятнадцятого століть:



На підставі отриманих раніше результатів можна очікувати, що цей набір даних, у якому переважають картини останніх півтора століть, матиме явні піки на співвідношеннях сторін, які відповідають деяким дробям. Представлене нижче розподіл з вертикальними лініями на 6/5, 5/4, 4/3 і 3/2 підтверджує цю гіпотезу:



Жанр, очевидно, тісно пов'язаний з форматом картини — чи буде вона широка, квадратна або висока. Ось співвідношення часток широких, квадратних і високих картин різних жанрів:



Давайте тепер розглянемо розподіл співвідношень сторін як функцію від жанру:



За допомогою функції TimelinePlot, зобразимо діапазони другого і третього квартилей співвідношень:





Високі картини в пейзажах зустрічаються набагато рідше, ніж широкі. Але навіть якщо ми під співвідношенням сторін будемо розуміти відношення довгої сторони до короткої, то ми як і раніше будемо бачити чітку залежність від пропорцій жанру.

Жанр часто також впливає і на сам розмір картини. Ось другий і третій квартилі у співвідношеннях сторін і площах для різних жанрів (у доданому документі Mathematica ця картинка інтерактивна: наведіть курсор на непрозорий прямокутник, щоб побачити жанр):



Якщо ми розділимо кожний жанр за стилями, то отримаємо більш дрібнозернисту структуру розподілу співвідношень сторін. Виберемо 50 найпопулярніших жанрів і стилів, кожен з яких повинен бути представлений принаймні п'ятдесятьма картинами:



Неокласичні картини в стилі ню виділяються найбільшим середнім співвідношенням сторін (близько 1.86):



А ось більш детальна діаграма, що показує середні співвідношення сторін для різних стилів і жанрів, які містять принаймні п'ять картин. (Наведіть курсор на вертикальну колону, щоб побачити жанр і пропорції.)



Колекція Французького державного музею
Як ми побачили вище, колекції живопису в кілька тисяч картин видають кілька максимумів у розподілі співвідношень сторін в діапазоні 1.24 — 1.33. Давайте розглянемо тепер другий за рахунком великий набір даних.

Каталог французьких національних музеїв Joconde містить описи понад півмільйона предметів мистецтва. Пошук по картинам дає ~67000 результатів. Не всі з них ті картини, що вішають на стіну; колекція також включає в себе картини на порцелянових фігурках і інших поверхнях. Разом ~31000 картин з явно заданими розмірами. Так як інформація про картинах виходить від кількох музеїв, розміри можуть бути представлені в різних форматах. Для вилучення розмірів потрібен деякий час.



Цікаво, що тут ми отримуємо новий максимум, рівний ~1.23.

Відображення розподілу широких зображень на оне для високих зображень з заміною висоти на ширину показує, що два максимуми співпадають дуже добре. Таким чином, співвідношення 5/4 (або 4/5) — найбільш популярне:



У колекції високих картин на ~11% більше, ніж широких.

Картини в італійських церквах: висота є всі
Дуже велику базу даних за картин італійських католицьких церков можна знайти на тут. Пошук картин, написаних олією, дає 130 000 результатів, з яких 124 000 містять дані по ширині і висоті.

Колекція містить багато щодо нових картин (шістнадцятого століття ≈4%, сімнадцятого століття ≈23%, вісімнадцятого століття ≈36%, дев'ятнадцятого століття ≈24%, двадцятого століття ≈13%).

Ось який розподіл виходить. Покажемо розподіл разом з лініями на 1, 6/5, 5/4, 4/3, 7/5, 3/2, 5/3 і 2. Ці лінії на диво добре узгоджуються з положеннями максимумів:



Графік явно вказує на істотне переважання високих картин над широкими. І всі максимуми припадають на дроби з малими знаменниками. І це при тому, що лише близько 8% загального числа картин виміряні з похибкою менше половини сантиметра.

Смитсоновская колекція
Смітсонівський музей американського мистецтва має сайт, з допомогою якого можна дослідити велику кількість картин. Близько 286000 картин містять інформацію про розмірах. Ось отримане розподіл пропорцій:



Як було зазначено, виражені піки на раціональних дробах частіше спостерігаються для картин останніх 200 років. Ось графік розподілу віку картин з цієї колекції, який це підтверджує:



Велика колекція картин у Великобританії
Третій великий набір даних почерпнемо з британського сайту Your Paintings, який являє 200000+ картин, 56000 з яких мають дані про ширині і висоті.

На відміну від попередніх наборів даних, багато картин цієї колекції віком 150 років. Виходить, переважання нових картин повинно поміняти розподіл співвідношень сторін?



Ми знову спостерігаємо яскраво виражений максимум. П'ять найбільш виражених максимумів для високих картин припадають на дроби з малими знаменниками. Зобразимо в якості вертикальних ліній числа 6/5, 5/4, 9/7, 4/3, 3/2 та їх зворотні значення. Для широких картин ми бачимо ті ж (тобто інвертовані) позиції максимумів, що і для високих картин:



Відмінна новина — 52% всіх розмірів задаються точніше, ніж в сантиметрах. Це означає, що видимі максимуми — не просто дефекти округлення, а картини і правда частіше мають співвідношення сторін, що виражається у вигляді дробу з малим знаменником.

А ось графік числа картин з більш високою роздільною здатністю і з максимальною дальністю від заданого співвідношення сторін, рівній 0.01:



Нинішній ринок витончених мистецтв: раціональніше ніж коли-небудь
Останній розділ з британськими картинами за останні 150 років показує чітку тенденцію до використання як співвідношення сторін раціональних чисел з малими знаменниками. Виникає питання: яке співвідношення найбільш популярне в наші дні?

Немає такого музею, який має тисячі картин останніх років (принаймні, я не зміг знайти такого). Отже, давайте звернемо увагу на дилерів сучасних картин (кількох останніх десятиліть). Після деяких пошуків я вийшов на Saatchi Art. Пошук по картин, написаних олією, видав 96000 картин. Отже, які в них співвідношення? Ось графік з розподілом їх пропорцій. Вертикальні лінії проведені на значеннях 1, 6/5, 5/4, 4/3, 3/2, 2, і відповідних їм зворотних значеннях. Зверніть увагу, що на цей раз ми використовуємо логарифмічну вертикальну шкалу:



Насправді, всі тенденції, які були помітні в наборі даних Your Paintings, стали ще більш вираженими:

  • ще велика частка квадратних картин,
  • виражені максимуми на співвідношеннях сторін, які є раціональні числа з малими знаменниками — як для широких, так і для високих картин,
  • майже рівну кількість широких і високих картин.
Максимуми в певних співвідношеннях відображаються на розподілі площ картин — спостерігається кілька десятків виражених значень:



Можна припустити, що вони викликані розмірами промислово виготовлених полотен. Щоб перевірити це припущення, проаналізуємо наявні у продажу картини магазину Dick Blick:



Побудоване розподіл площ для ~1600 отриманих картин має ті ж ключові риси, що і зазначене вище розподіл:





На побудованому з допомогою aspectRatioCDFPlot представленому вище розподіл можна помітити найбільш поширені пропорції, які проявляються у вигляді вертикальних сегментів:



І нехай неможливо купити картини в музеї, їх можна придбати в Saatchi. Таким чином, для цього набору даних ми можемо розглянути питання зв'язку між ціною і співвідношенням сторін. (Для різних статистичних даних за цінами та якісним властивості картин див. Reneboog і Van Houtte, Higgs і Forster і Bayer і Page.)

Дані не вказують на явну залежність ціни картини від її співвідношення сторін:



В той же час спостерігається слабка кореляція між ціною і площею за законом . (Для детального вивчення відношення площ до цін корейських картин див. Nahm).



Продані картини: більшість написані нещодавно, а у розподілу довгий хвіст
Раніше ми розглянули співвідношення сторін картин з різних музейних колекцій. В останньому розділі ми розглянули співвідношення сторін картин, представлених до продажу. А що можна сказати про пропорціях нещодавно проданих картин? Сайт Artnet — відмінних джерело інформації про продані на аукціонах картинах. Він містить близько 590000 картин з інформацією про розмірах.

У той час як картини, продані з аукціону, можуть бути і середньовічними, все-таки більшість ставляться до сучасних. Ось кумулятивне розподіл картин за останнє тисячоліття. Зверніть увагу на те, що вертикальна вісь — логарифмічна. Ми бачимо розподіл за принципом Парето — 90% всіх проданих на аукціоні картин зроблені після 1855:



Грунтуючись на нашому попередньому аналізі, можна очікувати, що набір даних з настільки великою кількістю відносно нових картин буде мати сильні і виражені піки на раціональних числах з малими знаменниками, плюс очікується багато квадратних картин. І це дійсно так, і це підтверджує наведений нижче графік. Побудуємо розподіл разом з вертикальними прямими на 5/6, 4/5, 3/4, 2/3, 5/7, 7/10 і зворотних до них:



Навіть на логарифмічній шкалі піки на цих значеннях все ще ясно видно:



Відносне число картин із співвідношенням сторін, близьким до деяких простих дробям, збільшується з плином часу. Для співвідношень сторін з інтервалу [1.1, 1.4] побудуємо абсолютне значення різниці між функцією розподілу ймовірності та її згладженої версією (з радіусом згладжування в 0,01). Добре видно відносні збільшення максимумів на 6/5, 5/4, 4/3:



Картини з цього набору даних здебільшого написані маслом. Проте цікаво було б порівняти розподілу співвідношень сторін картин, написаних олією, аквареллю, акрилом. Акрил використовується лише з сімдесятих, тому піки на розряди з малими знаменниками стають ще більш вираженими. Розподіл співвідношень сторін для туші має зовсім іншу форму — можливо, з-за форматів паперу:



Велика кількість картин сильно збільшує ймовірність знаходження картин з екстремальними пропорціями. Є навіть співвідношення, менші 1/10 і великі 10. Приклади дуже широких картин: Hussainbad Imambara Complex, Makimono scroll of river scenes, Sennenstreifen. Приклади дуже високих картин: La salive de dieu, Pilaster Exotic rain.

Якщо ми подивимося на кумулятивне розподіл всіх картин, які діляться на широкі, високі і квадратні, то ми бачимо, що з 1825 року широкі картини стають все більш популярними. Можна також помітити збільшення кількості квадратних картин після 1950:



Велика кількість картин у цьому каталозі разом з виникненням виділяються пропорцій у цьому наборі даних дозволяють запропонувати, що ми повинні застосовувати ту ж модель розподілу для всіх співвідношень максимум(висота/ширина, ширина/висота). Використовуючи дані (яких значно менше) з вбудованою бызы даних «Artwork» (витончених мистецтв), ми припустили, що розподіл пропорцій добре апроксимується стійким розподілом. Спробуємо знайти модель для нашого розподілу. Синя крива, яка представляє розподіл, була отримана згладжуванням з шириною 0.1:



Сайт відомого аукціонного будинку Sotheby має базу даних з можливістю пошуку з більш ніж 100000 картин, які продавалися в останні 15 років. Перевіримо тепер, чи є залежність між ціною і співвідношенням сторін. Ось фінальні ціни проданих картин в залежності від співвідношень сторін:



Аналогічним чином, прямий зв'язок між ціною з молотка і площа картини не спостерігається:



Розподіл аукціонних цін цікаво саме по собі, проте ми не будемо на це відволікатися і продовжимо фокусуватися на співвідношеннях сторін:



Схід: всі показники відрізняються
Практично всі картини, які ми розглядали, були написані західними митцями. Але що можна сказати про Сході? Виявилося, що набагато важче знайти базу даних східних картин. Найбільша з тих, що мені вдалося знайти — каталог китайського живопису в університеті Токіо.

Веб-сторінки дуже зручно структуровані і ми можемо легко імпортувати. Ось приклад:



Типовий введення даних з розмірами:



У базі даних міститься ~10500 картин з розмірами. Ось розподіл співвідношень сторін:



Розподіл помітно відрізняється від нього для західних картин. Найбільш виражені максимуми в положеннях 1/3 і 2. Для більш детального вивчення китайської живопису див. Zheng, Weidong і Xuchen. Тут можна знайти іншу, меншу онлайн колекцію китайського живопису.

Пропорції пакетів, автомобілів, етикеток, логотипів, емблем, паперу, банкнот, поштових марок та фільмів
Художники воліють певні співвідношення сторін для картин виходячи з естетичних міркувань; можливо, схожі шаблони проявляються в багатьох об'єктах сучасного світу.

Продукти з супермаркету
Давайте розглянемо різні продукти з супермаркету. Зрештою, вони своїм виглядом безпосередньо звертаються до потенційних клієнтів. Сайт ItemMaster має список десятків тисяч різних продуктів (там потрібна реєстрація).

Ось, знову гістограма співвідношень висота/ширина. Багато упаковки продуктів — квадратні (і цей тренд значно вираженіша, ніж для картин). І найбільш поширене співвідношення висота/ширина дуже близько до 3/2:



(Див. Raghubir і Greenleaf, Salahshoor і Mojarrad, Ordabayeva і Chandon і Кох для більш докладного знайомства з оптимальними формами упаковки з естетичної точки зору, а не з виробничої).

Винні етикетки
Після швидкого погляду на розміри упаковок, думаю, логічним буде досліджувати етикетки на продуктах. Важко знайти їх явно задані розміри, однак з їх зображеннями проблем не виникає. Раніше, при аналізі даних веб-галереї образотворчих мистецтв, ми з'ясували, що аналіз розмірів зображень, а не оригіналів, дає певну похибку. Це означає, що ми не зможемо побудувати точний графік розподілу пропорцій етикеток, однак аналіз їх зображень дозволить отримати загальне уявлення про розподіл. Розглянемо етикетки червоних вин і німецьких сортів пива. Сайт wine.com містить близько 5000 етикеток червоного вина:



Цікаво, що розподіл пропорцій винних етикеток не так вже й відрізняється від розподілу картин. У нас є широкі, високі і квадратні етикетки:



Етикетки німецьких сортів пива
Сайт Catawiki містить близько 2700 етикеток німецьких сортів пива. Кілька хвилин, і ми отримаємо ширини та висоти всіх пивних етикеток:



Розподіл пропорцій етикеток пива помітно відрізняється від винних. Більшість пивних етикеток майже квадратні:



Логотипи продуктів харчування
Узагальнимо і включимо останні два набори даних в продукти харчування. Сайт brandsoftheworld.com містить ~9000 логотипів продуктів харчування і напоїв. Ось розподіл їх співвідношень сторін. Ми ясно бачимо, що більшість логотипів або широкі, або квадратні. Є і високі логотипи, але їх набагато менше, ніж широких:



Банкноти
Що можна сказати про те, що ми використовуємо, щоб заплатити за продукти — про банкнотах? Банкноти доступні через фреймворк Entity, і ми можемо швидко проаналізувати співвідношення сторін для ~800 банкнот, які в даний час використовуються в різних країнах:



Практично всі сучасні банкноти широкі, тому ми бачимо лише співвідношення, менші одиниці. І більшість банкнот рівно в два рази більше в ширину, ніж у висоту:



Розміри автомобілів
Якщо є достатньо купюр, то можна купити хороший автомобіль. Отже, які розподілу співвідношень сторін автомобілів? Включивши близько 3600 моделей автомобілів 2015 роки, отримаємо наступні розподілу:



Ось деякі з автомобілів з малими і великими пропорціями висота/довжина:



У розподілі висот автомобілів виразно видно бімодальність. У той час як розподілу довжин і ширін машин унимодальны, висота показує два чітких максимуму. Автомобілі з висотою понад 65 дюймів — в основному позашляховики і кросовери. Крім того, дуже маленькі автомобілі середньої висоти, але з довжиною нижче середнього, утворюють пік у співвідношенні висота/ширина поблизу 1/3:



Паперові листи
Банкноти робляться з подібних папері матеріалів. Які ж співвідношення найбільш популярних форматів паперу? Сторінка у Вікіпедії про розміри паперу містить 13 таблиць популярних форматів паперу. Не представляє праці імпортувати таблиці і витягти стовпці таблиць, що містять дані по ширині і висоті (у міліметрах):



Також отримуємо розподіл пропорцій. Не дивно, що ми бачимо чітку кластеризацію пропорцій поруч з 1.41 — приблизним значенням — співвідношенням, на якому базується більшість форматів, стандартизованих ISO. А найбільш поширене співвідношення — 4/3:



Марки
Що це може бути схоже на картини, прямокутна і самих різних видів? Звичайно, це марки — такі собі міні-картини. Сайт Колнекту містить дані про 500000+ марок. Якщо ми обмежимося французькими марками, випускаються з 1849 по 2015, то ми отримаємо ~6000 марок для аналізу. Читання даних займає кілька хвилин:



Ось кумулятивне розподіл пропорцій марок:



Нарешті, ми знайшли щось, для чого розподіл співвідношень сторін має максимум, близька до золотого перетину. Ось найпопулярніші співвідношення сторін:



Зміна середнього співвідношення сторін (макс(ширина, висота)/хв(ширина, висота)) вказує на зміну стилю французьких марок з плином часу. Розглянемо також, як площа марок змінювалася з плином часу (в см2). Цілком очевидно, що марки з роками ставали все більше:



Емблеми команд NCAA (Національної асоціації студентського спорту)
Багато хто любить дивитися спортивні змагання, особливо командних видів спорту. Емблеми команд часто знаходяться на самому увазі. Давайте розглянемо спортивні команди з двох областей: NCAA і німецьких футбольних клубів. Використовувані раніше емблеми можна знайти здесь, а поточні — здесь.

Ось розподіл співвідношень (висота/ширина) емблем команд NCAA. Цікаво — спостерігається максимум на ~0,8, як і на деяких розподілах для картин:



Емблеми німецьких футбольних клубів
Ось розподіл співвідношень (висота/ширина) для 1348 емблем німецьких футбольних клубів. Ми бачимо яскраво виражений максимум для квадратних емблем і локальний максимум для високих емблем із співвідношенням сторін 1.15:



Формати фільмів
Закінчимо наш передостанній розділ для співвідношень сторін прямокутних об'єктів, розглянувши еволюцію форматів фільмів. Сайт filmportal містить список з 85000 німецьких фільмів, зроблених за останні 100 років. 27000 з них мають дані про співвідношення сторін і тривалості — близько трьох років безперервного перегляду кіно. На малюнку нижче показано кумулятивне розподіл пропорцій в кіно за тривалий час. Виходить, що близько двох третин усіх коли-небудь випущених фільмів мають співвідношення сторін ~4/3. І тільки в 60-х з'явилася тенденція знімати широкоформатне кіно:



Досліджуємо еволюцію пропорцій фільмів великих студій США (Warner Bros., Paramount Pictures, Twentieth Century Fox, Universal Pictures і Metro-Goldwyn-Mayer) за останні 100 років. Співвідношення сторін близько 4/3 стало переважати після 1955, а сьогодні середнє співвідношення — близько 2.18:



Висновок: так яке співвідношення саме «краще»?
Підбиваючи підсумок: ми проаналізували співвідношення сторін для великої кількості колекцій живопису — 1000000+ картин за кількістю і за тисячоліття з часу.

Використовуючи комбінацію вбудованих і джерел даних з інтернету, ми отримали наступні якісні висновки:

  • Кількість широких і високих картин приблизно однаково для різних колекцій.
  • З ХІХ століття широкі картини популярнішим високих.
  • Розподіл широких картин може бути точно визначено як зворотне розподіл високих картин.
  • Розподілу співвідношень сторін у багатьох колекціях містять (як для вищих, так і для широких картин) принаймні два чітко помітних глобальних максимуму: близько 1.3 і близько 1.27 (та їх зворотні величини для широких картин).
  • Починаючи з вісімнадцятого століття співвідношення сторін, що виражаються через дробу з малими знаменниками, стають все більш популярними, і ця тенденція триває і досі; терміни збігаються з французької стандартизацією розмірів полотна.
  • Розподілу співвідношень сторін картин 19 і 20 століть містять виражені максимуми на значеннях 6/5, 5/4, 9/7, 4/3 і 3/2.
  • В цілому, розподіл співвідношень сторін великих колекцій картин добре описується альфа-стійким розподілом Леві, а це означає, що розподіл має важкі хвости.
  • Золотий перетин не є співвідношенням, наскільки небудь популярним для картин (золотий перетин в архітектурі — див. Shekhawat, Huylebrouck і Labarque, Birkett і Jurgenson, Foutakis).
  • Розподіл пропорцій картин є унікальним і дуже відрізняється від розподілів прямокутних об'єктів з сучасному світі (наприклад, етикеток, марок, логотипів тощо).
Причини переходу до співвідношенням у вигляді дробів з малими знаменниками у сімнадцятому столітті — відкрите питання. Був перехід викликаний естетичними причинами, або обумовлений особливостями промислового виробництва і стандартизацією? Ми залишимо це питання історикам мистецтва.

Для більш чіткої відповіді на питання про те, чи відповідають максимуми деяким відомим констант (квадратний корінь з золотого перерізу, пластична константа, 4/3 або 5/4) необхідні більш точні дані по розмірах картин вісімнадцятого століття. Багато каталоги дають розміри без вказівки точності вимірювання і входить рама у зазначені розміри. Точність вимірювань найчастіше дорівнює сантиметру. При типових розмірах картин близько ста сантиметрів округлення до сантиметра вносить певну кількість спотворень в розподіл. З іншого боку, використання зображень для аналізу співвідношення сторін не представляється можливим, так як помилки, викликані обрізанням і перспективними спотвореннями занадто великі. Ми навмисно не об'єднували дані з різних колекцій. У доповнення до питання визначення дублікатів, слід було б ретельно вивчити питання про те, чи вказані розміри з рамкою чи ні, а також більш детально дослідити питання про точність вимірювань зазначених розмірів. Подібну експертизу мистецтвознавцю слід проводити дуже ретельно.

Одна велика колекція, яку ми не включили в дослідження, може бути корисна у визначенні точних значень максимумів розподілу співвідношень сторін для 178000 старовинних картин онлайн-каталогу 645 музеїв з Німеччини, Австрії та Швейцарії, які опублікував в інтернеті De Gruyter На момент написання цієї статті мені не вдалося отримати дозвіл на доступ до даних з цього каталогу. (Існують і різні малі бази даних картин, у тому числі утраченные, які можуть бути проаналізовані, але вони, ймовірно, дадуть результати, аналогічні отриманим нами).

Цікаво, що останні дослідження показують, що не тільки люди, але й інші ссавці, ймовірно, воліють пропорції близько 1.2 (див. недавнє дослідження Вінне та ін).

На зображеннях картин можна проводити найрізноманітніші кількісні дослідження — наприклад, аналіз спектрального розподілу потужності просторових частот, які є суть компоненти Фур'є кольорів і яскравостей, аналіз освітленості і напрямів, структури і композиції (тут, тут, здесь) психологічних основ колірних структур, автоматичної класифікації. Якщо дозволить час, ми будемо проводити подібні дослідження і в майбутньому. Дуже цікаве дослідження великої кількості аспектів 2229 картин в MoMA було проведено Roder.

І, звичайно, можна проаналізувати схожим чином різні рукотворні об'єкти, дізнатися, наскільки часто в різних областях з'являється золотий перетин — в автомобілях, наприклад. Співвідношення сторін можна досліджувати в сучасному розширення поняття картин — графіті. Можна аналізувати і сам зміст картини, щоб подивитися на частоту появи золотого перерізу (див. тут і тут). Залишимо це читачам, зацікавлених у розвитку цього напрямку.
Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.