Нові похідні функцій Бесселя виведені з допомогою мови Wolfram Language


Майже через двісті років після того, як Бессель ввів свої однойменні функції, були знайдені вирази для їх похідних за параметрами, які справедливі у всій комплексній площині

В цьому блозі ми наведемо і прокоментуємо деякі раніше невідомі похідні спеціальних функцій (в першу чергу функцій Бесселя та пов'язаних з ними функцій), а також торкнемося історії та поточного стану диференціювання за параметрами гипергеометрических та інших функцій. Однією з основних нових формул (більш докладно нижче) є замкнутий вираз для першої похідної однією з найпопулярніших спеціальних функцій — функції Бесселя J:

BesselDerivativesBlogRussian_1.png

Багато функції математичної фізики (тобто функції, які часто використовуються і тому мають спеціальні назви) залежать від декількох змінних. Один з них, як правило, називається аргументом, в той час як інші, як правило, називаються параметрами або іноді індексами (піктограмами). Ці спеціальні функції можуть мати будь-яку кількість параметрів. Наприклад (див. Wolfram Functions Site), функції Бесселя BesselDerivativesBlogRussian_2.jpeg(z) и BesselDerivativesBlogRussian_3.jpeg(z), Неймана BesselDerivativesBlogRussian_4.jpeg(z), Макдональда BesselDerivativesBlogRussian_5.jpeg(z), і Струве BesselDerivativesBlogRussian_6.jpeg(z) и BesselDerivativesBlogRussian_7.jpeg(z) мають тільки один параметр (так званий індекс), в той час як функції Уїттекером BesselDerivativesBlogRussian_8.jpeg(z) и BesselDerivativesBlogRussian_9.jpeg(z), а також вироджені гипергеометрические функції BesselDerivativesBlogRussian_10.jpegBesselDerivativesBlogRussian_11.jpeg(a;b;z) і U(a,b,z) мають два параметри. Функції Ангера BesselDerivativesBlogRussian_12.jpeg(z) и BesselDerivativesBlogRussian_13.jpeg(z), а також функції Вебера BesselDerivativesBlogRussian_14.jpeg(z) и BesselDerivativesBlogRussian_15.jpeg(z) можуть мати один або два параметра (у випадку двох параметрів вони називаються узагальненими функціями Ангера і Вебера). Функції Аппеля та Гумберта мають від трьох до п'яти параметрів, у той час як більш складні спеціальні функції, такі як узагальнена гипергеометрическая функція BesselDerivativesBlogRussian_16.jpeg, можуть мати будь-яке кінцеве кількість параметрів.

Серед інших властивостей, диференціювання спеціальних функцій відіграє істотну роль, так як похідні характеризують поведінку функцій при зміні цих змінних, і вони також важливі для вивчення диференціальних рівнянь цих функцій. Як правило, диференціювання спеціальної функції за її аргументу не представляє суттєвих труднощів. Найбільша колекція таких похідних, що включає першу, другу, символьну і навіть дробового порядку для більш ніж 200 функцій доступна в розділі «Differentiation» (Диференціювання) на сайті Wolfram Functions (скажімо, ця секція включає в себе вирази для 21 похідної функції Бесселя BesselDerivativesBlogRussian_17.jpeg(z)), або в книзі Ю. А. Брычкова Handbook of Special Functions). Більшість цих формул також доступні безпосередньо в мові Wolfram Language. Їх можна отримати з допомогою нових функцій MathematicalFunctionData і EntityValue.

Однак похідні за параметрами (на відміну від аргументу) в загальному випадку обчислити набагато складніше. Примітно, що наведена вище формула, що включає похідну першого порядку (щодо параметра ν) однією з найбільш часто зустрічаються спеціальні функції математичної фізики, лише недавно була знайдена в замкнутому вигляді, і це, може бути, дивовижний факт говорить про складнощі спільного завдання. Таким чином, за допомогою функції Бесселя J як характерного прикладу, ми зробимо коротку екскурсію по історії диференціювання цієї спеціальної функції.

Обчислення похідних не завжди просто
Часто люди, навіть добре знайомі з математичним аналізом, схильні думати, що важко інтегрувати, а диференціювати легко. Відома «народна» мудрість, яка говорить, що "диференціювання — справа техніки, а інтегрування — це мистецтво". Але це висловлювання повністю справедливо тільки для елементарних функцій, для яких диференціювання приводить знову до елементарних функцій (або їх комбінацій). Якщо ж диференціювання проводиться за параметрами, воно, як правило, призводить до складних функцій більш загального класу.

Відмінність між диференціюванням по параметрам і диференціюванням по аргументу може бути проілюстровано на функції Бесселя J. Похідна Бесселя J за її аргументу z була відома протягом досить довгого часу і має відносно простий замкнутий вигляд:

BesselDerivativesBlogRussian_19.jpeg

Однак аналітичне обчислення її похідної по параметру ν є більш складним. Часто похідні за параметрами можуть бути записані у вигляді інтеграла або нескінченного ряду, але ці об'єкти не можуть бути представлені в замкнутій формі через інші прості або відомі функцій. Історично склалося, що деякі спеціальні функції були введені з єдиною метою — дати просте позначення похідних відомих функцій. Наприклад, полигамма-функція виникла як засіб для подання похідних гамма-функції.

Узагальнена гипергеометрическая функція BesselDerivativesBlogRussian_20.jpegта її похідні відіграють суттєву роль у вирішенні різних завдань теоретичної і прикладної математики (див., наприклад, статью L. U. Ancarani і G. Gasaneo щодо застосування похідних за параметрами у квантовій механіці). Узагальнена гипергеометрическая функція породжує в якості приватних випадків багато хто з найбільш часто використовуваних елементарних функцій (наприклад, тригонометричні, гіперболічні, логарифмічні, і зворотні тригонометричні функції), а також багато спеціальні функції, в тому числі функції Бесселя, Струве, Кельвіна, Ангера-Вебера, неповну гамма-функцію і інтегральні функції (показову, синус і косинус). У разі, якщо p=0, q=1, узагальнена гипергеометрическая функція BesselDerivativesBlogRussian_21.jpegмістить сімейство функцій Бесселя BesselDerivativesBlogRussian_22.jpeg(z) BesselDerivativesBlogRussian_23.jpeg(z) BesselDerivativesBlogRussian_24.jpeg(z), і BesselDerivativesBlogRussian_25.jpeg(z). Функція Бесселя J, наприклад, має гіпергеометричний подання:

BesselDerivativesBlogRussian_26.gif

BesselDerivativesBlogRussian_27.jpeg

BesselDerivativesBlogRussian_28.jpeg

Цікаво, що історія функції BesselDerivativesBlogRussian_29.jpeg(z) починається майже рівно 200 років тому. У доповідях Берлінської академії за 1816-17 роки (опубліковано в 1819), в роботі Analytische Auflösung der Keplerschen Aufgabe, Фрідріх Вільгельм Бессель розглядає так зване рівняння Кеплера M=E-e sin(E), де M — середня аномалія, E — ексцентрична аномалія, а e — ексцентриситет кеплеровской орбіти. Рішення цього рівняння може бути представлено (у сучасній записи) через функції Бесселя цілого порядку:

BesselDerivativesBlogRussian_30.jpeg

У цій першій роботі Бессель ще не використовує сучасні позначення, але його функція з'являється вже в неявному вигляді. Наприклад, він використовує таку суму (зверніть увагу, що Бессель використовують позначення Гаусса BesselDerivativesBlogRussian_31.jpegi!):

BesselDerivativesBlogRussian_32.gif

У наш час ми можемо записати вираз у вигляді суми двох функцій Бесселя мовою Wolfram Language наступним чином:

BesselDerivativesBlogRussian_33.jpeg

BesselDerivativesBlogRussian_34.jpeg

Ця сума як раз і є першою похідною функції Бесселя -2 a e BesselDerivativesBlogRussian_35.jpeg(e i):

BesselDerivativesBlogRussian_36.jpeg

BesselDerivativesBlogRussian_37.jpeg

У своїй наступній роботі у 1824 р. Бессель використовує майже сучасні позначення (заміна J I), для позначення своєї функції:

BesselDerivativesBlogRussian_38.gif

BesselDerivativesBlogRussian_39.jpeg

BesselDerivativesBlogRussian_40.jpeg

Він також виводить фундаментальні співвідношення для цієї функції, такі як:

BesselDerivativesBlogRussian_41.gif

BesselDerivativesBlogRussian_42.jpeg

BesselDerivativesBlogRussian_43.jpeg

Різні спеціальні випадки загальної функції Бесселя трапляються вже в працях Бернуллі, Ейлера, Даламбера та інших (докладніше див. статті). Основним довідником за функціями Бесселя донині залишається класична монографія Р. Н. Ватсона "Теорія бесселевых функцій", яка була багато разів перевидана і суттєво доповнено в порівнянні з першим виданням 1922 р.

Таким чином, у той час як похідні функції Бесселя J щодо аргументу z були відомі з початку дев'ятнадцятого століття, тільки до середини двадцятого століття були знайдені приватні випадки для похідних по індексу. Похідні деяких функцій Бесселя ν в точках ν=0,1,2,… і ν=1/2 були дані Дж. Р. Ейрі в 1935 році, а вирази для інших функцій сімейства Бесселя в цих точках — в книзі Ст. Магнуса, Ф. Бейтмена і Р. П. Соні “Формули та теореми для спеціальних функцій математичної фізики“ (1966):



Узагальнення на будь-які полуцелые значення ν було представлено на Міжнародної конференції з абстрактного і прикладного аналізу (Ханой, 2002) в наступному вигляді:



Ці результати, поряд з виразами для похідних по параметру функцій Струве в цілих і напівцілих точках, були опубліковані в 2004-2005 рр. Різні нові формули для диференціювання за параметрами функцій Ангера і Вебера, функцій Кельвіна, неповних гамма-функцій, функцій параболічного циліндра, функцій Лежандра та Гауса, узагальнених і вироджених гипергеометрических функцій можна знайти в “Довіднику по спеціальних функцій: Похідні, інтеграли, ряди і інші формули". Короткий огляд і ссылы див. H. Cohl.

Ймовірно, здасться дивним, що при наявності всіх цих результатів, перші похідні функцій Бесселя в замкнутому вигляді при довільних значеннях параметра були отримані тільки в 2015 р. (Ю. А. Брычков, "Вищі похідні функцій Бесселя щодо індексу", 2016 р.). Вони виражаються у вигляді комбінацій творів функцій Бесселя та узагальнених гипергеометрических функцій. Наприклад:



Графіки нижче дають деяке уявлення про поведінку функції Бесселя BesselDerivativesBlogRussian_50.jpeg(z) та її похідної в областях, що представляють інтерес. По-перше, ми наводимо (дійсної νz-площині) вираз для першої похідної від BesselDerivativesBlogRussian_51.jpeg(z) ν (див. рівняння на початку статті):





Для фіксованого індексу, а саме ν=π, ми наводимо графіки функції Бесселя разом зі своїми першими двома похідними (по аргументу і індексом):



BesselDerivativesBlogRussian_55.gif

Цікаво зазначити, що похідні (z ν) мають майже збігаються нулі.

Як ми отримали це?
Примітно, що навіть майже через 300 років після введення класичної функції (функція Бесселя BesselDerivativesBlogRussian_56.jpeg(z) була введена Даніїлом Бернуллі у 1732 р.), можна знайти нові і відносно прості формули, які відносяться до таких функцій. Фактично формули для введеної вище похідної BesselDerivativesBlogRussian_57.jpeg(разом з відповідними результатами для похідної BesselDerivativesBlogRussian_58.jpeg, і функцій Неймана, Макдональда і Кельвіна) були отримані за допомогою мови Wolfram Language. Детальна інформація про те, як шукалися ці похідні опублікована тут. У цьому пості ми наведемо лише начерк одного з варіантів підходу, який може бути використаний і для інших спеціальних функцій.

По-перше, нагадаємо, що функції Бесселя та інші, якими ми зараз цікавимося, функцій гіпергеометричного типу; але диференціювання за параметрами загальної гипергеометрической функції однієї змінної BesselDerivativesBlogRussian_59.jpegпотребує більш складних функцій гіпергеометричного типу більш ніж однієї змінної (див. статью L. U. Ancarani і G. Gasaneo). Перша похідна по відношенню до «верхнім» параметрами BesselDerivativesBlogRussian_60.jpeg, і всі похідні символьного цілого порядку m по відношенню до «нижнім» параметрами BesselDerivativesBlogRussian_61.jpegузагальненої гипергеометрической функції, можуть бути виражені в термінах гипергеометрической функції Кампе де Фер'є BesselDerivativesBlogRussian_62.jpegдвох змінних за наступними формулами:





Вищевказана гипергеометрическая функція Кампе де Фер'є визначається подвійним рядом (див. тут і тут):

BesselDerivativesBlogRussian_65.png

Функцію Кампе де Фер'є можна розглядати як узагальнення гипергеометрической функції на дві змінні:

BesselDerivativesBlogRussian_66.png

Відповідна регуляризованная версія функції також може бути визначена шляхом заміни твори символів Похгаммера BesselDerivativesBlogRussian_67.jpegу знаменнику BesselDerivativesBlogRussian_68.jpeg.

Функція Кампе де Фер'є може бути використана для подання похідних функції Бесселя J по параметру:

BesselDerivativesBlogRussian_69.png

Це вираз збігається з простою формулою вище, яка включає в себе гипергеометрические функції однієї змінної, хоча це не очевидно (ми поки що не маємо повного набору формул для спрощення багатовимірних гипергеометрических функцій до виразів, що містять тільки одномірні гипергеометрические функції).

Подвійні ряди, аналогічні наведеним вище визначенням узагальненої гипергеометрической функції двох змінних, також виникають при обчисленні перетворення Мелліна від творів трьох G-функцій Мейєра:

BesselDerivativesBlogRussian_70.png

Права частина формули включає в себе G-функцію Мейєра двох змінних, яка в загальному (нелогарифмическом) випадку може бути представлена у вигляді кінцевої суми гипергеометрических функцій Кампе де Фер'є з деякими коефіцієнтами, за аналогією з двома формулами (перша, друга) G-функції Мейєра однієї змінної. Нарешті, функція Кампе де Фер'є також виникає при розділення дійсної та уявної частин гипергеометрических функцій від однієї змінної, z = x+iy, з дійсними параметрами:


(вищенаведена формула була виведена Е. Д. Крупниковым, але не опублікована).

Слід зазначити, що в останні роки гипергеометрические функції багатьох змінних знаходять все більше число додатків в таких областях, як квантова теорія поля, хімія, машинобудування, теорія зв'язку та радіолокації. Багато практичні результати можуть бути представлені з використанням таких функцій, і тому більшість основних результатів в цій області отримані в прикладної наукової літератури. Теорія функцій теоретичної математики досі розроблена відносно слабо.

Символьні похідні в мові Wolfram Language
Автор цих нових і цікавих формул з символьними похідними, Юрій Брычков, є членом нашої команди, що дозволяє нам довести цю постійно розвивається область математики до уваги наших користувачів. Нам також пощастило, що в нашому розпорядженні є нова функція системи Mathematica (мови Wolfram Language) — Посилання, яка дозволяє, крім іншого, швидко (протягом декількох тижнів або днів) представляти нові результати в обчислюваному форматі і на всіх платформах, де використовується мова Wolfram Language нашим користувачам. Наприклад, в системі Mathematica, можна вычислитьследующее вираз:





Тим самим ми отримуємо основну формулу цієї статті. Ми можемо перевірити формулу чисельно, підставивши спочатку символьні значення ν z, і отримавши вираз:

BesselDerivativesBlogRussian_74.jpeg

BesselDerivativesBlogRussian_75.png

Далі, ми відокремлюємо ліву і праву частини і підставляємо випадкові значення для аргументи і параметри:

BesselDerivativesBlogRussian_76.png

BesselDerivativesBlogRussian_77.png

Чисельна похідна від лівої частини обчислюється в мові Wolfram Language з допомогою граничної процедури. Рівність лівої і правої частин, і, отже, правильність вихідної формули для похідної очевидні.

Крім безлічі нових результатів щодо символьних і параметричних похідних, які згадувалися в цій статті і доступні тільки через EntityValue (хоча більш глибока интегрирация цього функціоналу в майбутніх версіях мови Wolfram Language вимагає постійних зусиль), велику кількість результатів в цій області вже було імплементовано в ядро системи Mathematica і ядро мови Wolfram Language. Такі похідні за параметрами не обчислюються автоматично через їх складності, але їх можна побачити, використовуючи команду FunctionExpand. Наприклад:

BesselDerivativesBlogRussian_78.png

BesselDerivativesBlogRussian_79.png

BesselDerivativesBlogRussian_80.png

BesselDerivativesBlogRussian_81.png

Похідні за індексом другого і більш високого порядку функцій Бесселя та пов'язаних з ними функцій можуть бути виражені в термінах гипергеометрической функції Кампе де Фер'є двох змінних BesselDerivativesBlogRussian_82.jpeg, але отримані формули можуть бути досить складними, і можуть включати в себе поліноми Белла Y:

BesselDerivativesBlogRussian_83.png

Останній вираз виникає представлення функції Бесселя BesselDerivativesBlogRussian_84.jpeg(z) через композицію функції BesselDerivativesBlogRussian_85.jpegBesselDerivativesBlogRussian_86.jpeg(;ν+1;w) і BesselDerivativesBlogRussian_87.jpeg:

BesselDerivativesBlogRussian_88.jpeg

Ми використовуємо формулу Афс-ді-Бруно, яка дозволяє отримати вираз n-ї похідну композиції m функцій BesselDerivativesBlogRussian_89.jpeg. У разі m = 2 (див. тут і тут), ми отримуємо, наприклад, вираз:

<img src=«habrastorage.org/getpro/habr/post_images/6a9/62b/4cd/6a962b4cd8ff81622ea203aa642d6921.png» alt=«BesselDerivativesBlogRussian_90.png»">

Відповідна формула для загальних m n може бути отримана та перевірена у мові Wolfram Language:

BesselDerivativesBlogRussian_91.png

BesselDerivativesBlogRussian_92.png

У той час як многочлени Белла Y, для яких не існує загального замкнутого виду, як правило, необхідні для подання похідних вищого порядку, один з авторів цього посту, Юрій Брычков, знайшов спосіб усунути многочлен Y з n-х похідних по параметру функцій Бесселя, залишаючи нас з чудовим результатом:

BesselDerivativesBlogRussian_93.png

Для зручності зацікавлених користувачів, які хотіли б бачити в одному місці всі відомі формули для похідних спеціальних функцій з параметрами (в тому числі ті, які перелічені вище), ми зібрали і представили ці формули наступними способами:

1. В табличному форматі (завантажити тут).

2. У форматі ноутбука Mathematica (завантажити тут).

3. Підмножину формул, які були відомі до 2009, можна побачити на сайті Wolfram Function Site в розділах «Диференціювання» різних функцій (наприклад, див. цю страницу).

В нашому наступному пості ми дамо вираження замкнутого виду похідних для колекції з понад 400 функцій із загальними правилами для похідних символьного і дробового порядку. Ми сподіваємося, що вам сподобається самостійно досліджувати світ похідні спеціальних функцій з допомогою мови Wolfram Language!

З питань про технології Wolfram пишіть на info-russia@wolfram.com
Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.