Метод функцій Ляпунова в задачі про ефект Джанібекова

Введення
Дана стаття не має відношення до циклу «Магія тензорною алгебри», але викликана до життя публікаціями з нього. Недбало клацаючи по посиланнях в пошуковику набрів на обговорення одній зі своїх статей, присвячених ефекту Джанібекова, і звернув увагу на справедливе зауваження про те, що дослідження стійкості гайки Джанібекова по першому наближенню не дає однозначної відповіді на питання про те, при яких параметрах рух буде стійким. Це так, оскільки корені характеристичного полінома, при обертанні навколо осі з найменшим і найбільшим моментом інерції чисто уявні, їх дійсна частина дорівнює нулю. При таких умовах не можна відповісти на питання, чи буде рух стійким, не провівши додаткового дослідження.

Інтерпретація Мак-Куллага — напевно найпростіше пояснення ефекту Джанібекова


Таке дослідження можна виконати використовуючи метод функцій Ляпунова (другий або прямий метод Ляпунова). І щоб остаточно закрити питання з гайкою Джанібекова, я вирішив написати цю замітку.

1.Диференціальні рівняння збуреного руху. Знову.
Нехай є система, в загальному випадку нелінійних диференціальних рівнянь руху деякої механічної системи

\frac{d\mathbf y}{dt} = \mathbf F(t, \, \mathbf y)
де \mathbf y = \begin{bmatrix} y_1 && y_2 && \cdots && y_n \end{bmatrix}^T— вектор-стовпець змінних стану системи; \mathbf F(t, \, \mathbf y)— нелінійна вектор-функція. У загальному випадку система (1) не є автономною, тобто явно залежить від часу, але ми обмежимося розглядом автономної системи, де

\frac{d\mathbf y}{dt} = \mathbf F(\mathbf y)
Рішення системи (2) \mathbf y(t) = \mathbf y_0(t)дає так зване невозмущенное рух. По суті це звичайний, усталений режим руху системи під дією прикладених до неї сил. Задамо деяке обурення, обумовлений вектором \mathbf x(t)відхилень від невозмущенного руху, тобто

\mathbf y(t) = \mathbf y_0(t) + \mathbf x(t)
Підставляючи (3) в (2), отримуємо

\frac{d\mathbf y_0}{dt} + \frac{d\mathbf x}{dt} = \mathbf F(\mathbf y_0 + \mathbf x)
Віднімемо (2) з (4)

\frac{d\mathbf x}{dt} = \mathbf F(\mathbf y_0 + \mathbf x) - \mathbf F(\mathbf y_0)
або

\frac{d\mathbf x}{dt} = \mathbf G(\mathbf x)
де \mathbf G(\mathbf x) = \mathbf F(\mathbf y_0 + \mathbf x) - \mathbf F(\mathbf y_0), і рівняння (5) називається рівнянням збуреного руху, тривіальне рішення якого x_1 = x_2 = ... = x_n = 0відповідає невозмущенному руху системи.

2. Хитра функціяV(x) — кандидат в функції Ляпунова
Розглянемо деяку скалярну функцію

V = V(\mathbf x) = V(x_1, \, x_2, \, ...,\, x_n)
визначену в деякій околиці початку координат, такий що

|x_i| < h, \quad i = \overline{1,n}
де h— досить мале, додатне число.

Функція (6) називається знакоопределенной, якщо в області (7) вона приймає значення тільки одного знаку (тільки позитивні або тільки негативні), і дорівнює нулю лише у початку координат (при x_1 = x_2 = ... = x_n = 0)

Функція (6) називається знакопостоянной, якщо в області (7) вона приймає значення тільки одного певного знака, але може звертатися в нуль і при x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 \ne 0.

Обчислимо повну похідну від функції (6) за часом. Так як x_i = x_i(t), \quad i = \overline{1,n}за визначенням повної похідної отримуємо

\frac{dV}{dt} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial V}{\partial x_i} \, \dot x_i
що, беручи до уваги рівняння (5), еквівалентний співвідношенню

\frac{dV}{dt} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial V}{\partial x_i} \, G_i(x_1, \, x_2, \, ..., \, x_n)
Функцію (8) називають повної похідної функції (6) за часом, складеної в силу рівняння (5).

3. Теореми Ляпунова про стійкість
Два параграфа, що вище, написані сухим математичною мовою визначень, і інакше напевно не можна. Додамо ще трохи формальної математики, сформулювавши

Теорема Ляпунова про стійкість
Якщо для системи рівнянь (5) існує знакоопределенная функція V(x_1, \, x_2, \, ...,\, x_n)(функція Ляпунова), повна похідна по часу якій, складена в силу системи (5) є функція знакопостоянная, знака, протилежної V, або тотожно рівна нулю, то точка спокою системи (5) x_1 = x_2 = ... = x_n = 0стійка
Під точкою спокою системи (5) тут розуміється її тривіальне рішення, відповідне невозмущенному руху розглянутій механічної системи. Грубо кажучи, відповідно до сформульованої теореми, слід підібрати функцію V(x_1, \, x_2, \, ...,\, x_n), що задовольняє властивостям, зазначеним в умові теореми. Якщо вона задовольняє цим властивостям, то її називають функцією Ляпунова, і якщо така функція (хоча б одна!) існує, то усталений режим руху розглянутій механічної системи буде стійким.

Однак, в даній теоремі не йдеться про асимптотичної стійкості, тобто такому характері руху системи, при якому обурений її рух буде прагне до усталеному режиму. Під стійким тут розуміється і такий рух, при якому система буде коливатися в окретсности вихідного усталеного режиму, але ніколи до нього не повернеться. Умова асимптотичної стійкості буде більш суворим

Теорема Ляпунова про асимптотичної стійкості
Якщо для системи рівнянь (5) існує знакоопределенная функція V(x_1, \, x_2, \, ...,\, x_n)(функція Ляпунова), повна похідна по часу якій, складена в силу системи (5) є функція знакоопределенная, знака, протилежної V, то точка спокою системи (5) x_1 = x_2 = ... = x_n = 0асимптотично стійка
Асимптотично стійка система, після обурення, прагне повернутися до усталеному режиму руху, тобто рішення системи (5) буде сходиться до початку координат x_i = 0, \quad i=\overline{1,n}.

Ці теореми дають шлях до дослідження стійкості лінійних і нелінійних механічних систем, більш загальний, ніж дослідження за першим наближенням.

Інше питання, як знайти функцію Ляпунова, що задовольняє рівнянню (5) і вимогам теореми. Однозначної відповіді на це питання математика ще не знає. Є ряд робіт, цілком присвячених цьому питанню, наприклад книга Е. А. Барабашина «Функції Ляпунова». Для більшості лінійних систем можна шукати функції Ляпунова у вигляді квадратичних форм, наприклад, для системи третього порядку ця функція може бути такий

V = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2
дана функція — безумовно-позитивна, причому в як завгодно великий околі точки спокою системи. Або така функція

V = x_1^2 + x_2^2 + 2 \, x_1 \, x_2 + x_3^2
буде знакопостоянной, позитивною, бо V = (x_1 + x_2)^2 + x_3^2може бути дорівнює нулю в точці спокою системи x_1 = x_2 = x_3 = 0, так і в точці, що задовольняє умові x_3 = 0, \quad x_1 = -x_2.

У разі консервативних механічних систем функцією Ляпунова може служити повна механічна енергія системи, яка, за відсутності дисипації, є константою (знакопостоянна) і ще похідна по часу дорівнює нулю — адже вона константа. І ця функція випливає з системи рівнянь руху, бо є одним з її інтегралів.

У випадку з гайкою Джанібекова, як дуже елегантне рішення мною взята ідея з книги А. П. Макєєва «Теоретична механіка». Це рішення дещо перероблене і розширене мною, щоб бути в контексті раніше написаних статей.

4. Інтеграли руху гайки Джанібекова
Отримаємо два перших інтеграла руху, спираючись на систему рівнянь, наведену в тензорному циклі. Оперувати будемо тензорними співвідношеннями, щоб не втрачати хватки. Отже, рівняння обертання гайки навколо центру мас має вигляд

I_{\,j}^{\,i} \, \dot\omega^{j} + \varepsilon^{\,ijk} \, \omega_{\,j} \, g_{\,kl} \, I_{\,p}^{\,l} \, \omega^{\,p} = 0
ліва його частина еквівалентна абсолютної похідної по часу від моменту кількості руху гайки (МКД)

\frac{dL^{\,i}}{dt} = 0
Помножимо рівняння (10) скалярно на подвоєний вектор МКД

2\, L_{\,i}\,\frac{dL^{\,i}}{dt} = 0
Неважко помітити, що (11) — похідна від квадрата модуля МКД. Дійсно, перетворимо рівняння (10) і проинтегрируем його

\begin{align*}
&\frac{d}{dt} \left( L^{\,2} \right) = 0 \\
&L^{\,2} = \rm const
\end{align*}
або

I_x^{\,2} \, \omega_x^2 + I_y^{\,2} \, \omega_y^2 + I_z^{\,2} \, \omega_z^2 = \rm const
Вираз (12) є перший інтеграл руху, виявляє сталість модуля МКД розглянутої нами гайки. Щоб отримати ще один перший інтеграл руху, помножимо (9) скалярно на вектор кутовий швидкості

\omega_{\,i} \, I_{\,j}^{\,i} \, \dot\omega^{j} + \varepsilon^{\,ijk} \, \omega_{\,i} \, \omega_{\,j} \, g_{\,kl} \, I_{\,p}^{\,l} \, \omega^{\,p} = 0
після чого, раптом, виявляємо у другому слагаемом згортку \varepsilon^{\,ijk} \, \omega_{\,i} \, \omega_{\,j}рівну нулю, отримуючи рівняння

\omega_{\,i} \, I_{\,j}^{\,i} \, \dot\omega^{j} = 0
Згадаймо, адже щось схоже ми вже бачили раніше. Адже кінетична енергія тіла в його обертанні щодо центру мас дорівнює

T = \frac{1}{2} \, \omega_i \, I_j^i\,\omega^{\,j}
і якщо ми продиференціюємо її по часу, що отримаємо

\frac{dT}{dt} = \frac{1}{2} \, \dot\omega_i \, I_j^i \, \omega^{\,j} + \frac{1}{2} \, \omega_i \, I_j^i \, \dot\omega^{\,j} = \omega_i \, I_j^i\,\dot\omega^{\,j}
у відповідності з цим, ми можемо переписати рівняння (13) і проінтегрувати його

\begin{align*}
&\frac{d}{dt} \, \left( \frac{1}{2} \, \omega_i \, I_j^i \, \omega^{\,j} \right) = 0 \\
&\frac{1}{2} \, \omega_i \, I_j^i \, \omega^{\,j} = \rm const
\end{align*}
Враховуючи, що множення константи на двійку не змінює її «константності», можна остаточно записати перший інтеграл у компонентній формі (враховуючи декартов базис!)

I_x \, \omega_x^2 + I_y \, \omega_y^2 + I_z \, \omega_z^2 = \rm const
Вираз (14) висловлює сталість кінетичної енергії обертання гайки навколо центру мас. Залишилося перейти у виразах (12) і (14) до безрозмірних моментів інерції i_y = \frac{I_y}{I_x}, \quad i_z = \frac{I_z}{I_x}

\begin{align*}
&\omega_x^2 + i_y^{\,2} \, \omega_y^2 + i_z^{\,2} \, \omega_z^2 = \rm const \\
&\omega_x^2 + i_y \, \omega_y^2 + i_z \, \omega_z^2 = \rm const
\end{align*}
Отримані рівняння і є ті перші інтеграли руху, які ми використовуємо для побудови функції Ляпунова

4. Побудова функції Ляпунова інтегралів руху
Метод побудови функції Ляпунова з рівнянь виду (15) носить назву методу інтегральних зв'язок Четаєва і говорить про те, що зазначену функцію можна шукати у вигляді зв'язки інтегралів руху виду

V = \lambda_1 \, U_1 + \lambda_2 \, U_2 + ... + \lambda_k \, U_k + \mu_1 \, U_1^2 + \mu_2 \, U_2^2 + ... + \mu_k \, U_k^2
де U_1,...,U_k— перші інтеграли рівнянь збуреного руху; \lambda_1,...,\lambda_kі \mu_1,...,\mu_k— невизначені константи, підбором яких можна зробити функцію (16) виразно позитивною, що задовольняє теорему Ляпунова про стійкість.

Невозмущенное обертання гайки відбувається навколо осі xз постійною кутовою швидкістю \omega. Возмутим це рух, давши кутової швидкості мале прирощення \Delta\vec\omegaі перепишемо вираз (15)

\begin{align*}
&(\omega + \Delta\omega_x)^2 + i_y^{\,2} \, \Delta\omega_y^2 + i_z^{\,2} \, \Delta\omega_z^2 = \rm const \\
&(\omega + \Delta\omega_x)^2 + i_y \, \Delta\omega_y^2 + i_z \, \Delta\omega_z^2 = \rm const
\end{align*}
або

\begin{align*}
&\omega^2 + 2\omega \, \Delta\omega_x + \Delta\omega_x^2 + i_y^{\,2} \, \Delta\omega_y^2 + i_z^{\,2} \, \Delta\omega_z^2 = \rm const \\
&\omega^2 + 2\omega \, \Delta\omega_x + \Delta\omega_x^2 + i_y \, \Delta\omega_y^2 + i_z \, \Delta\omega_z^2 = \rm const
\end{align*}
При сталому обертанні гайки з постійною кутовою швидкістю, константу \omega^2можна відняти від обох частин одержаних рівнянь, отримавши в їх лівій частині функції

\begin{align*}
&U_1 = \Delta\omega_x^2 + i_y^{\,2} \, \Delta\omega_y^2 + i_z^{\,2} \, \Delta\omega_z^2 + 2\omega \, \Delta\omega_x \\
&U_2 = \Delta\omega_x^2 + i_y \, \Delta\omega_y^2 + i_z \, \Delta\omega_z^2 + 2\omega \, \Delta\omega_x
\end{align*}
Функція Ляпунова буде мати вигляд

V = U_1^2 + U_2^2
Виходячи з рівнянь (15) зрозуміло, що \frac{dV}{dt} = 0, значить асимптотичну стійкість мови не буде. Але, виходячи з теореми Ляпунова, необхідно переконається в тому, що функція (18) безумовно-позитивна. З виразів (18) і (17) зрозуміло, що її значення додатні при будь-яких \Delta\omega_x\Delta\omega_y\Delta\omega_z. Тепер покажемо, що (18) звертається в нуль лише у точці спокою системи \Delta\omega_x = \Delta\omega_y = \Delta\omega_z = 0. Вираз (18) дорівнює нулю виключно у разі

U_1 = 0, \quad U_2 = 0
З першого рівняння системи (19) віднімемо друге

U_1 - U_2 = i_y \left( 1 - i_y \right) \, \Delta\omega_y^2 + i_z \left( 1 - i_z \right) \, \Delta\omega_z^2 = 0
Якщо i_y, \, i_z < 1(момент інерції, навколо якого обертається гайка найбільший, або i_y, \, i_z > 1(момент інерції, навколо якого обертається гайка найменший), то рівність (20) буде справедливе лише у випадку, коли \Delta\omega_y = \Delta\omega_z = 0. Врахуємо цей факт і складемо рівняння (19)

U_1 + U_2 = 2 \, \Delta\omega_x^2 + 4\,\omega \, \Delta\omega_x = 2\,\Delta\omega_x \left(\Delta\omega_x + 2\,\omega \right) = 0
Рівняння (21) справедливо при \Delta\omega_x = 0за \Delta\omega_x = - 2 \, \omega. Але, так як ми вважаємо |\Delta\omega_x| \ll 2\,\omega, функція (18) буде дорівнює нулю виключно в точці спокою системи \Delta\omega_x = \Delta\omega_y = \Delta\omega_z = 0.

Таким чином, обертання гайки навколо осі з найменшим і найбільшим моментом інерції буде стійким за Ляпуновим.

Однак, поспішаю помітити, що при i_y > 1, \quad i_z < 1, або i_y < 1, \quad i_z > 1, тобто коли момент інерції відносно осі, навколо якої відбувається обертання має проміжне між максимальним і мінімальним значення, функцію (18) вже не можна назвати певною позитивно, із-за того що доданки в (20) будуть мати різні знаки. Але зовсім не можна сказати про те, що рух буде нестійким. Особливість теореми Ляпунова про стійкість в тому, що вони декларують умова стійкості, але не декларують зворотного. Нестійкість руху доведеться доводити окремо.

5. Нестійкість обертання гайки Джанібекова
Сформулюємо визначення
Областю v > 0будемо називати якусь область околиці |x_i| < h, \quad i = \overline{1,n}, де для деякої функції v(x_1, x_2,...,x_n)виконується умова v(x_1, x_2,...,x_n) > 0, причому на кордоні області v = 0і точка спокою системи належить цій межі.
і теорему

Теорема Четаєва про нестійкості
Якщо диференціальні рівняння збуреного руху (5) такі, що існує функція v(x_1, x_2,...,x_n), така, що як завгодно малої околиці
|x_i| < h, \quad i = \overline{1,n}
існує область v > 0, і в усіх точках цієї області похідна \dot vв силу рівнянь (5) приймає позитивні значення, то невозмущенное рух нестійкий.
Функція v(x_1, x_2,...,x_n)про яку йдеться в теоремі називається функцією Четаєва. Тепер розглянемо знову нашу гайку, рівняння обертання якої виглядають так (з урахуванням роботи в пов'язаних з тілом декартових координатах і введених нами безрозмірних моментів інерції)

\begin{align*}
&\dot\omega_x = \left(i_y - i_z) \, \omega_y \, \omega_z \\
&\dot\omega_y = \frac{i_z - 1}{i_y} \, \omega_x \, \omega_z \\
&\dot\omega_z = \frac{1 - i_y}{i_z} \, \omega_x \, \omega_y
\end{align*}
Враховуючи, що спочатку обертання відбувається з постійною кутовою швидкістю \omegaнавколо осі x, побудуємо рівняння збуреного руху. Будемо вважати, що \omega > 0— цього завжди можна досягти вибором осей власної системи координат.

\begin{align*}
&\Delta\dot\omega_x = \left(i_y - i_z) \, \Delta\omega_y \, \Delta\omega_z \\
&\Delta\dot\omega_y = \frac{i_z - 1}{i_y} \, (\omega + \Delta\omega_x) \, \Delta\omega_z \\
&\Delta\dot\omega_z = \frac{1 - i_y}{i_z} \, (\omega + \Delta\omega_x) \, \Delta\omega_y
\end{align*}
Побудуємо функцію Четаєва

v = \Delta\omega_y\,\Delta\omega_z
Точка спокою системи лежить на кордоні v > 0, а функція (23) позитивна при \Delta\omega_y, \, \Delta\omega_z > 0. Похідна за часом від (23) в силу (22) має вигляд

\dot v = \Delta\dot\omega_y \, \Delta\omega_z + \Delta\omega_y \, \Delta\dot\omega_z = (\omega + \Delta\omega_x) \, \left(\frac{i_z - 1}{i_y} \, \Delta\omega_z^2 + \frac{1 - i_y}{i_z} \, \Delta\omega_y^2\right)
В силу того, що \omega > 0, \quad \omega \gg |\Delta\omega_x|, а так само за умови обертання гайки навколо середнього моменту інерції, так що i_z > 1, \quad i_y < 1, I_z > I_x > I_y, похідна (24) позитивна в області v > 0, а значить, рух буде нестійким.

Якщо ж, як у розглянутому нами спочатку разі, I_y > I_x > I_z, або i_z < 1, \quad i_y > 1, то в якості функції Четаєва виберемо

v = -\Delta\omega_y\,\Delta\omega_z
Тоді область v > 0відповідає умові \Delta\omega_y, \, \Delta\omega_z < 0, точка спокою системи так само лежить на її кордоні, а похідна (25), рівна

\dot v = -\Delta\dot\omega_y \, \Delta\omega_z - \Delta\omega_y \, \Delta\dot\omega_z = (\omega + \Delta\omega_x) \, \left(\frac{1 - i_z}{i_y} \, \Delta\omega_z^2 + \frac{i_y - 1}{i_z} \, \Delta\omega_y^2\right)
так само буде позитивною. Рух буде нестійким.

Висновок
Дана стаття — додаток до статті про стійкість руху гайки Джанібекова. Основний матеріал взято з наведених вище літературних джерел, а так само сайту Math Help Planet. Авторський внесок в цю статтю — поетапне докладний розгляд другого методу Ляпунова на прикладі конкретної задачі. Крім того, трохи більш розгорнуто, ніж в книзі Макєєва, розглянуто питання про нестійкості руху стосовно до різних варіантів співвідношення між моментами інерції гайки.

Таким чином вважаю, що я виправив недолік, пов'язаний з неповнотою викладу питання про причини ефекту Джанібекова. А заодно і сам детальніше вивчив другий метод Ляпунова.

Дякую читачів за виявлену увагу!

Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.