Магія тензорною алгебри: Частина 17 — Замальовка про гайці Джанібекова

Дана стаття присвячується світлій пам'яті мого вчителя, доктора технічних наук, професора Кабелькова Олександра Миколайовича, засновника і першого декана Фізико-математичного факультету ЮРГТУ (НПІ)

Введення

Дане відео ілюструє повторний експеримент — замість «баранчика» використовується якась саморобна дурниця


Це сталося в 1985 році, на орбітальній станції «Салют-7», під час відвідин її екіпажем корабля «Союз Т-13» в складі космонавтів Джанібекова Ст. А. і Савіних В. П. Не буду описувати своїми словами, процитувавши один з численних мережевих джерел
Коли космонавти розпаковували доставлений на орбіту вантаж, то їм доводилося відкручувати так звані «баранчики» – гайки з вушками. Варто вдарити по вушка «баранчика», і він сам розкручується. Потім, розкрутившись до кінця і зіскочивши з різьбового стержня, гайка продовжує, обертаючись, летіти по інерції в невагомості (приблизно як летить обертається пропелер). Так ось, Володимир Олександрович зауважив, що пролетівши приблизно 40 сантиметрів вушками вперед, гайка раптом здійснює раптовий переворот на 180 градусів і продовжує летіти в тому ж напрямку, але вже вушками тому і обертаючись в іншу сторону. Потім, знову пролетівши 40 сантиметрів, гайка знову робить перекид на 180 градусів і продовжує летіти знову вушками вперед, як в перший раз і так далі. Джанібеков неодноразово повторював експеримент, і результат незмінно повторювався. Загалом, обертається гайка, що летить в невагомості, робить різкі 180-градусні періодичні перевороти кожні 43 сантиметри. Також він пробував замість гайки використовувати інші предмети, наприклад, пластиліновий кулю з приліплену до нього звичайної гайкою, який точно так само, пролетівши деяку відстань, здійснював такі ж несподівані перевороти.
Думаю, що для початку цього цілком достатньо. Насправді, в «ефекті Джанібекова» немає нічого екстраординарного (хоча йому зараховують і можливу зміну полюсів Землі кожні 12000 років, та інші глобальні катаклізми). Використовуючи апарат тензорною алгебри і теорію стійкості механічного руху, спробуємо розібратися, що відбувається з загадковою гайкою.

1. Гайка «баранець» — масово-інерційні характеристики
На малюнку зображений об'єкт нашого дослідження. Напевно кожен з читачів бачив таку гайку хоча б один раз у житті. За схожість з оригіналом не ручаюся, художник з мене той ще, але тим не менш.

Гайка Джанібекова

По-перше, рух гайки (поки що, хоча моделювання в планах є) ми будемо вивчати якісно. Тому нас не цікавитимуть конкретні розміри цього виробу. Нам важлива форма цієї гайки, з якої ми, практично нічого не обчислюючи можемо зробити деякі висновки.

Гайка здійснює вільний рух, тому в якості полюса зручно вибрати її центр мас. Крім того, нехай власна система координат пов'язана з тілом) буде декартовій, а її осі нехай збігаються з головними осями інерції. Такі осі завжди можна знайти, і вони будуть ортогональны, що ми суворо доводили попередній статті. Так що ми можемо вважати, що центральний тензор інерції гайки буде представлений діагональною матрицею

\mathbf I_c = 
\begin{bmatrix}
I_x && 0 && 0 \\
0 && I_y && 0 \\
0 && 0 && I_z
\end{bmatrix}
Очевидно, що найбільшим головним осьовим моментом інерції буде I_y— гайка має найбільш протяжний форму саме в площині, перпендикулярній осі Cy. Щодо моментів інерції I_xI_zможна посперечатися — все залежить від співвідношення товщини центральній частині до її діаметру і віддаленості центру мас від різьбового отвору, але припустимо, що форма гайки така, що I_x > I_z. Тоді введемо безрозмірні моменти інерції

i_x = \frac{I_x}{I_x} = 1, \quad i_y = \frac{I_y}{I_x}, \quad i_z = \frac{I_z}{I_x}
і, так як I_y > I_x > I_z

i_y \ge 1, \quad 0 < i_z \le 1
В цьому випадку центральний тензор інерції приймає вигляд

\mathbf I_c = I_x \, 
\begin{bmatrix}
1 && 0 && 0 \\
0 && i_y && 0 \\
0 && 0 && i_z
\end{bmatrix}
2. Диференціальні рівняння усталеного руху гайки
Так як після сходження з різьби гайка рухається як вільне тіло, форма запису рівнянь руху очевидна

\begin{align*}
&m \, \vec a_{c} = \sum \vec F_k^{\,e} \\
&\mathbf I_c \, \vec\epsilon + \vec\omega \times \left(\mathbf I_c \, \vec\omega \right) = \sum \vec M_{c}(\vec F_k^{\,e}) 
\end{align*}
Оскільки гайка рухається в неинерциальной системі відліку, що вільно падає на Землю (кабіна космічного корабля, невагомість), прийнявши допущення про незначність опору повітря і нехтуючи іншими збуреннями, праві частини системи (5) будемо вважати нульовими

\begin{align*}
&m \, \vec a_{c} = 0 \\
&\mathbf I_c \, \vec\epsilon + \vec\omega \times \left(\mathbf I_c \, \vec\omega \right) = 0
\end{align*}
З урахуванням початкових умов рівняння руху полюса легко інтегрується, і ми отримуємо рівномірний і прямолінійний рух центру мас. Вся сіль у другому рівнянні, яке теж легко інтегрується, адже його ліва частина — абсолютна похідна від моменту кількості руху гайки щодо центру мас

\mathbf I_c \, \vec\epsilon + \vec\omega \times \left(\mathbf I_c \, \vec\omega \right) = \frac{\tilde d\vec L_c}{dt} + \vec\omega \times \vec L_c = \frac{d\vec L_c}{dt}
де \frac{\tilde d\vec L_c}{dt}— локальна похідна МКД, взята в зв'язаній системі координат, а сама формула носить назву формули Бура.

Таким чином і друге рівняння дає інтеграл

\vec L_c = \vec{\rm const}
який говорить про незмінність МКД. Враховуючи, що на початку кутова швидкість спрямована строго уздовж осі Cx, МКД так само буде направлений вздовж тієї ж осі, бо несиметричність тіла в цьому випадку впливу надавати не буде, МКД буде мати проекцію на вісь xі вона буде дорівнює I_x \, \omega. Звідки тоді беруться еволюції, описані в досвіді Джанібекова?

3. Диференціальні рівняння збуреного руху гайки
Припустимо, що під дією короткого малого обурення, кутова швидкість гайки відхилилася від закону, який дають рівняння (6) на малу величину \Delta \vec\omega. Тоді кутова швидкість гайки стане дорівнює

\vec \omega^{\,'} = \vec\omega + \Delta\vec\omega
Перепишемо друге рівняння (6) в тензорному вигляді

I_{\,j}^{\,r}\,\dot\omega^{'\,j} + \varepsilon^{\,rkm}\,\omega_{\,k}^{\,'} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \omega^{'\,p} = 0
і підставимо туди (7)

I_{\,j}^{\,r}\,\left(\dot\omega^{\,j} + \Delta\dot\omega^{\,j}\right) + \varepsilon^{\,rkm} \, \left(\omega_{\,k} + \Delta \omega_{\,k}\right) \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s}\,\left(\omega^{\,p} + \Delta\omega^{\,p}\right) = 0
Розкриємо в (8) дужки

\begin{align*}
I_{\,j}^{\,r} \, \dot\omega^{\,j} &+ \varepsilon^{\,rkm} \, \omega_{\,k} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \omega^{\,p} + I_{\,j}^{\,r}\,\Delta\dot\omega^{\,j} + \varepsilon^{\,rkm} \, \omega_{\,k} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \Delta\omega^{\,p} + \\
& + \varepsilon^{\,rkm} \, \Delta\omega_{\,k} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \omega^{\,p} + \varepsilon^{\,rkm} \, \Delta\omega_{\,k} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \Delta\omega^{\,p} = 0
\end{align*}
Однак, I_{\,j}^{\,r} \, \dot\omega^{\,j} &+ \varepsilon^{\,rkm} \, \omega_{\,k} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \omega^{\,p} = 0, що відповідає усталеному режиму руху. Останнє доданок (9) відкидаємо як мале 2-го порядку, приводячи рівняння (9) до вигляду

I_{\,j}^{\,r}\,\Delta\dot\omega^{\,j} + \varepsilon^{\,rkm} \, \omega_{\,k} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \Delta\omega^{\,p} + \varepsilon^{\,rkm} \, \Delta\omega_{\,k} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \omega^{\,p} = 0
Перерахуємо компоненти кутової швидкості за формулами

\Delta\omega_{\,k} = g_{\,kl}\,\Delta\omega^{\,l}, \quad \Delta\omega^{\,p} = \delta_{\,l}^{\,p}\,\Delta\omega^{\,l}
Підставимо (10) в (9) і винесемо за дужку спільні множники

I_{\,j}^{\,r}\,\Delta\dot\omega^{\,j} + \varepsilon^{\,rkm} \, \left(\omega_{\,k} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s}\,\delta_{\,l}^{\,p} + g_{\,kl} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \omega^{\,p} \right) \, \Delta\omega^{\,l} = 0
Використовуючи властивості дельти Кронекера і опускаючи індекси у тензора інерції, отримуємо

I_{\,j}^{\,r}\,\Delta\dot\omega^{\,j} + \varepsilon^{\,rkm} \, \left(\omega_{\,k} \, I_{\,ml} + g_{\,kl} \, I_{\,mp} \, \omega^{\,p} \right) \, \Delta\omega^{\,l} = 0
або

I_{\,j}^{\,r}\,\Delta\dot\omega^{\,j} + G_{\,l}^{\,r} \, \Delta\omega^{\,l} = 0
де G_{\,l}^{\,r} = \varepsilon^{\,rkm} \, \left(\omega_{\,k} \, I_{\,ml} + g_{\,kl} \, I_{\,mp} \, \omega^{\,p} \right)— тензор рангу (1, 1).

Отримана система рівнянь (11) називається линеаризованной системою рівнянь збуреного руху і служить для дослідження стійкості усталеного руху за першим наближенням.

Зверніть увагу, оперуючи тензорами ми геть забули про те, що в рівнянні (6) є страшне матричне множення та ще й векторний добуток. Ще одна ілюстрація потужності тензорного підходу до перетворення векторно-матричних форм.

4. Дослідження стійкості руху гайки Джанібекова по першому наближенню (перший метод Ляпунова)
Знову перейдемо до матричної формі в рівнянні (11), дозволивши його відносно похідної відхилень кутової швидкості

\frac{d \Delta\vec\omega}{dt} = \mathbf I_c^{-1} \, \mathbf G\,\Delta\vec\omega
Перший метод Ляпунова, який ми будемо використовувати для оцінки стійкості руху гайки передбачає дослідження власних чисел матриці \mathbf A = \mathbf I_c^{-1} \, \mathbf G. Для того, щоб усталений рух було стійким, власні числа (яких буде три матриці \mathbf Aповинні мати від'ємні дійсні частини.

Проте, для початку нам слід отримати матрицю \mathbf G, елементи якої задовольняють тензорному співвідношенням

G_{\,l}^{\,r} = \varepsilon^{\,rkm} \, \left(\omega_{\,k} \, I_{\,ml} + g_{\,kl} \, I_{\,mp} \, \omega^{\,p}\right)
Для початку згадаємо, що ми працюємо в декартових координатах, значить метричний тензор представлений одиничною матрицею, тензор Леві-Чивиты — символами Веблена, про яких ми вже говорили, а тензор інерції рангу (0,2)збігається з тензором інерції рангу (1,1).

Для згортки виразу (13) можна скористатися СКА, але так як я ще не розібрався з покомпонентної роботою з тензорами в Maxima і Maple, то швидко накидав наступний код в Maple, користуючись її засобами лінійної алгебри

restart;
with(LinearAlgebra):

# Обчислення тензора Леві-Чивиты
levi_civita := proc(i, j, k)

local E := IdentityMatrix(3,3);
local A := Matrix(3, 3);
local i1 := 0;

A[1] := E[i];
A[2] := E[j];
A[3] := E[k];

return Determinant(Transpose(A)); 

end proc:

# Задаємо використовувані тензори
J := Matrix( [ [I[xx], 0, 0], [0, a*I[xx], 0], [0, 0, b*I[xx]] ]);
g := IdentityMatrix(3, 3);
Omega := Vector([omega, 0, 0]);
L := J . Omega;

# Обчислюємо матрицю G
G := Matrix(3, 3);

for r from 1 to 3 do

for l from 1 to 3 do
G[r, l] := 0;
for k from 1 to 3 do
summ := 0;
for m from 1 to 3 do
summ := summ + levi_civita(r, k, m)*Omega[k]*J[m, l] + levi_civita(r,k,m)*g[k,l]*L[m];
end do:
G[r, l] := G[r, l] + summ;
end do:

end do:

end do:

Пропустивши вихідні дані через Maple, на виході отримуємо матрицю

\mathbf G = 
\begin{bmatrix}
0 && 0 && 0 \\
0 && 0 && \omega \, I_x \, \left(1 - i_z\right) \\
0 && \omega \, I_x \, \left(i_y - 1\right) && 0
\end{bmatrix}
де \omega— кутова швидкість обертання гайки відразу після сходу з різьби на сталому ділянці руху, перед шкереберть. Цю кутову швидкість можна вважати постійною.

Неважко отримати і матрицю \mathbf A

\mathbf A = \mathbf I_c^{-1} \, \mathbf G = 
\begin{bmatrix}
0 && 0 && 0 \\
0 && 0 && \omega \, \cfrac{1-i_z}{i_y} \\
0 && \omega\,\cfrac{i_y-1}{i_z}
\end{bmatrix}
Характеристичне рівняння для обчислення власних чисел даної матриці має вигляд

\lambda^3 - \omega^2 \, \frac{(i_y - 1)(1 - i_z)}{i_y \, i_z} \, \lambda = 0
Вирішуючи його отримуємо власні числа

\lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = \omega \, \sqrt{\frac{(i_y - 1)(1 - i_z)}{i_y \, i_z}}, \quad \, \lambda_3 = -\omega \, \sqrt{\frac{(i_y - 1)(1 - i_z)}{i_y \, i_z}}
Власні числа приймають дійсні значення, якщо безрозмірні моменти інерції задовольняють умові

i_y \ge 1, \quad i_z \le 1
В іншому випадку два власний числа будуть чисто уявними. Якщо ми побудуємо графіки залежності власних значень \lambda_2\lambda_3від безрозмірних моментів інерції, то побачимо, що при порушенні умови (15) графіки провалюються в комплексну область.

Позитивний корінь характеристичного полінома

Від'ємний корінь характеристичного полінома


Висновки

Хоча б одне власне значення з позитивного речовій частиною говорить про нестійкості усталеного режиму руху.

Тепер подивимося, адже умова (15) задовольняє прийнятим нами на початку умові (3). При співвідношенні між моментами інерції, коли

I_y > I_x > I_z
тобто, будучи спочатку закрученої навколо осі з проміжним між максимальним і мінімальним значенням моменту інерції, гайка веде себе нестійко, здійснює переворот, а потім знову намагається знайти стійке положення, і знову здійснює переворот. Відомо, що стійкі вільного обертання тіла можливі лише навколо осей з максимальним і мінімальним моментом інерції.

Якщо

i_y > 1, \quad i_z < 1
ми отримуємо чисто уявні корені характеристичного рівняння, і перший метод Ляпунова не відповідає однозначно на питання, чи буде стійко рух в цьому випадку. Але виходячи з того, що знає механіка не сьогоднішній день та з коливального характеру розв'язання лінійних рівнянь з уявними коренями характеристичного рівняння, можна припустити періодичні коливання вектора кутової швидкості близько усталеного режиму, що відповідає процесам прецесії і нутации.

У зв'язку з цим, наша планета, що задовольняє умові (16) не буде відчувати на собі ефект Джанібекова. Так що глобальна катастрофа зі зміною полюсів нам не загрожує.

Дана стаття була деякою розминкою. До гайки «баранчика» ми, можливо ще повернемося, а поки — дякую моїх читачів за увагу!

далі буде...

Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.