Магія тензорною алгебри: Частина 14 — Нестандартне введення в динаміку твердого тіла

Зміст
  1. Що таке тензор і для чого він потрібен?
  2. Векторні і тензорні операції. Ранги тензорів
  3. Криволінійні координати
  4. Динаміка точки в тензорному викладі
  5. Дії над тензорами і деякі інші теоретичні питання
  6. Кінематика вільного твердого тіла. Природа кутової швидкості
  7. Кінцевий поворот твердого тіла. Властивості тензора повороту і спосіб його обчислення
  8. Про згортках тензора Леві-Чивиты
  9. Висновок тензора кутової швидкості через параметри кінцевого повороту. Застосовуємо голову і Maxima
  10. Отримуємо вектор кутовий швидкості. Працюємо над недоліками
  11. Прискорення точки тіла при вільному русі. Кутове прискорення твердого тіла
  12. Параметри Родріга-Гамільтона в кінематиці твердого тіла
  13. СКА Maxima в задачах перетворення тензорних виразів. Кутові швидкість і прискорення в параметрах Родріга-Гамільтона
  14. Нестандартне введення в динаміку твердого тіла


Введення

Динаміка твердого тіла — розділ механіки, який у свій час поставив чіткий вектор розвитку цієї науки. Це один із самих складних розділів динаміки, і завдання інтегрування рівняння сферичного руху для випадку довільного розподілу маси тіла не вирішена досі.

У цій статті ми почнемо розглядати динаміку твердого тіла, застосовуючи апарат тензорною алгебри. Ця пілотна стаття про динаміку відповість на ряд фундаментальних питань, що стосуються, наприклад, такого важливого поняття як центр мас тіла. Що таке центр мас, що відрізняє його від інших точок тіла, чому рівняння руху тіла складають в основному відносно цієї точки? Відповідь на ці, та деякі інші питання знаходиться під катом.


Інтегрування рівнянь руху цієї дитячої іграшки — одна з досі не вирішених задач механіки...



1. Старий, як світ, принцип Даламбера



Для початку розглянемо рух матеріальної точки. Безпосередньо із аксіом випливає основне рівняння динаміки точки

image

прискорення помножене на масу є векторна сума доданих до точки сил. І про сили, які прикладені до точки треба поговорити детальніше. Розділ механіки, званому аналітичної механікою, сили, прикладаються до точок механічної системи підлягають суворій класифікації.

Сили, що стоять у правій частині (1) поділяються на дві групи

  1. Активні сили. Цій групі сил можна дати наступне визначення
    Активними називають сили, величину яких можна визначити з умови задачі
    Говорячи формальним мовою, активна сила визначається вектор функцією

    image

    де image— узагальнена координата точки; image— узагальнена швидкість точки. З цього виразу видно, що починаючи вирішувати задачу про рух і маючи початкові умови (момент часу, положення і швидкість) можна розрахувати активну силу.

    Сила тяжіння, пружності, Кулоновская сила взаємодії заряду з електричним полем, сила Ампера і сила Лоренца, сила в'язкого тертя і аеродинамічного опору — все це приклади активних сил. Вирази для їх розрахунку відомі і ці сили можна порахувати, знаючи положення і швидкість точки.
  2. Реакції зв'язків. Найнеприємніші сили, які тільки можна придумати. Нагадаю одну з аксіом статики, іменовану аксіомою про зв'язки
    Зв'язку прикладені до тіла можна відкинути, замінивши їх дію силою, або системою сил
    Зображена на малюнку точка — не вільна точка. Її рух обмежено зв'язком, умовно представленої у вигляді якоїсь поверхні, в межах яких розташовується траєкторія руху. Наведена вище аксіома дає можливість прибрати поверхню, приклавши до точки силу image, дія якої еквівалентно наявності поверхні. При цьому ця сила не є відомою заздалегідь — її величина задовольняє обмеженням на положення, швидкість і прискорення, що накладаються зв'язком, ну і, зрозуміло вектор реакції залежить від прикладених активних сил. Реакції зв'язків підлягають визначенню в процесі рішення задачі. До реакцій зв'язків відноситься так само і сухе тертя, наявність якого навіть в простій задачі істотно ускладнює процес її рішення.


Виходячи з даної класифікації, рівняння руху точки (1) переписують у вигляді

image

де image— рівнодіюча активних сил, прикладених до точки; image— рівнодійна реакцій, накладених на точку зв'язків.

А тепер спробуймо найпростіший фокус — прискорення з масою перенесемо в іншу частину рівняння (2)

image

і введемо позначення

image

Тоді рівняння (2) перетворюється в

image

Сила, представлена вектором (3) називається силою інерції Даламбера. А рівняння (4) виражає принцип Даламбера для матеріальної точки

Матеріальна точка знаходиться в рівновазі під дією прикладених до неї активних сил, реакцій зв'язків і сил інерції
Дозвольте, про яке рівновазі може йти мова, якщо точка рухається з прискоренням? Але ж рівняння (4) є рівнянням рівноваги, і приклавши до точки силу (3) ми можемо замінити рух точки її рівновагою.

Досить поширений суперечка про те, чи є сили інерції (3) фізичними силами. В інженерній практиці використовується поняття відцентрової сили, яка є сила інерції, пов'язана з доцентровим (або осестремительным) прискоренням, искривляющим траєкторію точки. Моя особиста думка така, що сили інерції є математичний фокус, показаний вище, що дозволяє перейти до розгляду рівноваги замість руху з прискоренням. Сила інерції (3) визначається прискоренням точки, але воно, в свою чергу визначається дією на точку прикладених до неї сил, і відповідно аксиоматикой Ньютона сила первинна. Тому ні про яку «физичности» сил інерції говорити не доводиться. Природа не знає активних сил, що залежать від прискорення.

2. Принцип Даламбера для твердого тіла. Головний вектор і головний момент сил інерції



Тепер розповсюдимо рівняння (4) на випадок руху твердого тіла. У механіці його розглядають як незмінну механічну систему, що складається з безлічі точок, відстань між якими в кожен момент часу залишається незмінним. Всі точки тіла рухаються по різних траєкторіях, але рівняння руху кожної точки відповідає (2)

image

Сили, що діють на конкретну точку можна розділити на зовнішні активні image, реакції зовнішніх зв'язків image, і внутрішні сили image, що представляють собою сили взаємодії розглянутої точки з іншими точками тіла (по суті — внутрішні реакції). Всі згадані сили є равнодействующие відповідної групи сил, прикладених до точки. Застосуємо до цього рівняння Принцип Даламбера

image

де image— сила інерції прикладена до даній точці тіла.

Тепер, коли всі точки тіла знаходяться в рівновазі, ми можемо скористатися умовою рівноваги твердого тіла, яке дає нам статика
Тверде тіло знаходиться в рівновазі під дією прикладеної до нього системи сил, якщо головний вектор і головний момент цієї системи сил, відносно вибраного центру O, рани нулю
image


Головний вектор системи сил — це векторна сума всіх сил, прикладених до тіла. Сума сил, прикладених до кожної точки тіла визначається останнім рівнянням, тому складаючи рівняння для всіх точок, в лівій його частині отримаємо головний вектор

image

При цьому, сума внутрішніх сил дорівнює нулю, як наслідок з третього закону Ньютона. Аналогічно обчислюємо суму моментів всіх сил відносно вибраного довільного центру O, що дає нам рівний нулю головний момент системи сил

image

причому, як показується в класичному курсі динаміки, сума моментів внутрішніх сил, прикладених до системи матеріальних точок, дорівнює нулю, тобто image. Рівняння (5) і (6) вже висловлюють принцип Даламбера стосовно твердому тілу, але лише з однією необхідною поправкою.

Число активних сил і реакцій зв'язків у рівняннях (5) і (6) звичайно. Більшість доданків у відповідних сумах дорівнюють нулю, бо активні зовнішні сили і реакції зовнішніх зв'язків, взагалі кажучи, додані лише в деяких точках тіла. Чого не можна сказати про сили інерції — сили інерції додані до кожній точці тіла. Тобто сума сил інерції, і сума їх моментів відносно вибраного центру є інтегральні суми. Систему сил інерції прийнято зводити до головного вектора і головного моменту і ми можемо написати, що

image

головний вектор і головний момент сил інерції, прикладених до твердого тіла. Інтеграли (7) і (8) беруться по всьому об'єму тіла, а image— радіус вектор точки тіла відносно вибраного центру O.

Виходячи з цього міркування ми можемо переписати (5) і (6) в остаточному вигляді

image

Рівняння (10) і (11) виражають принцип Даламбера для твердого тіла
Теврдое тіло знаходиться в рівновазі під дією прикладених до нього зовнішніх сил, реакцій зв'язків, головного вектора і головного моменту сил інерції.
По суті (10) і (11) є форма запису диференціальних рівнянь руху твердого тіла. Вони досить часто застосовуються в інженерній практиці, однак з точки зору механіки, така форма запису рівняння руху не є найзручнішою. Адже інтеграли (7) і (8) можна обчислити у загальному вигляді і прийти до більш зручним рівнянь руху. У зв'язку з цим (10) і (11) слід розглядати як теоретичну основу побудови аналітичної механіки.

3. На сцену виходять центр мас і тензор інерції

Повернемося до наших тензорам і з їх допомогою обчислимо інтеграли (7) і (8) для загального випадку руху твердого тіла. В якості центру приведення виберемо точку O1. Ця точка обрана в якості полюса і в ній визначено локальний базис пов'язаної з тілом системи координат. одній з минулих статей ми визначили тензорну співвідношення для прискорення точки тіла в такому русі

image

Помноживши (12) на масу точки зі знаком мінус, ми отримаємо силу інерції, прикладену до елемента об'єму твердого тіла

image

Вираз (13) — ковариантное подання вектора сили інерції. Подвійний векторний добуток (12) перепишемо у більш зручній формі, використовуючи тензор Леві-Чивиты і псевдовекторы кутової швидкості і кутового прискорення



Підставляємо (14) в (13) і беремо потрійний інтеграл по всьому об'єму тіла, враховуючи, що кутова швидкість і кутове прискорення однакові в кожній точці цього обсягу, тобто їх можна винести за знак інтеграла

image

Інтеграл в першому слагаемом — це маса тіла. Інтеграл у другому слагаемом більш цікава штука. Згадаймо одну з формул курсу теоретичної механіки

image

де image— контравариантные компоненти радіус-вектор центру мас розглянутого тіла. Не даючись в зміст поняття центра мас просто замінимо інтеграли в (15) згідно з формулою (16), врахувавши, що у другому слагаемом (15) використовуються коваріантного компоненти.

image

Ага, вираз (17) теж нам знайоме, представимо його в більш звичній векторній формі

image

Перший доданок в (18) — сила інерції, пов'язана з поступальним рухом тіла разом з полюсом. Другий доданок — відцентрова сила інерції, пов'язана з осествемительным прискоренням центру мас тіла при його русі навколо полюса. Третій доданок — обертальна складова головного вектора сил інерції, пов'язана з обертальним прискоренням центру мас навколо полюса. Загалом-то все знаходиться у відповідності з класичними співвідношеннями теормеха.

Допитливий читач скаже: «навіщо застосовувати тензори для отримання цього виразу, якщо у векторному вигляді воно було б отримано не менш очевидним способом?». У відповідь я скажу, що отримання формул (17) і (18) — це була розминка. Тепер ми одержимо вираження головного моменту сил інерції відносно вибраного полюса, і тут тензорний підхід виявляє себе у всій красі.

Візьмемо рівняння (13) і помножимо його векторно зліва на радіус вектор точки тіла відносно полюса. Тим самим ми отримаємо момент сили інерції, прикладеної до елементарного об'єму тіла

image

Знову виконаємо підстановку (14) в (19), але не станемо поспішає брати інтеграл

image

Не знаю як у вас, а у мене рябить в очах, навіть при моїй звичності до таких формул. Складові розташовані в більш природному порядку — переставлені місцями обертальна і відцентрова складові. Крім того, від першого до другого доданку зростає складність перетворюють викладок. Будемо спрощувати їх по черзі, спочатку спростимо перше, відразу взявши інтеграл

image

Тут знову з'явився радіус вектор центру мас. Тут нічого складного — прискорення полюса у нас один і ми винесли його за знак інтеграла. Інтерпретацією займемося трохи пізніше, а поки перетворимо другий доданок (20). У ньому ми можемо виконати згортання твори тензорів Леві-Чивиты по німому індексом k

image

Тут ми скористалися властивістю дельти Кронекера замінювати вільний індекс вектора/ковектора при виконанні згортки. Тепер візьме інтеграл, врахувавши, що кутове прискорення постійно для всього об'єму тіла

image

Во як! Малозрозумілий «крокодил», шляхом формальних тензорних перетворень схлопнувся в компактну формулу. Я лукавлю, ми ввели нове позначення

image

Але це не просто абстрактна формула. За структурою виразу (24) видно, що воно відображає розподіл маси тіла навколо полюса і називається воно — тензор інерції твердого тіла. Ця величина має воістину фундаментальне значення для механіки, і про неї ми поговоримо докладніше, поки лише скажу, що (24) — симетричний тензор другого рангу, компонентами якого є осьові і відцентрові моменти інерції тіла в обраній системі координат. Він характеризує інертність твердого тіла при обертанні. Звертаю увагу читача на те, як швидко ми отримали вираз для тензора інерції, по суті діючи формальним способом. З векторними співвідношення без ломки мізків не обійтися, в цьому я переконався на особистому досвіді.

Ну і нарешті звернемося до останнього доданку (20). При взяття інтеграла в ньому теж повинен вийде тензор інерції, і ми будемо перетворювати його таким чином, щоб досягти цієї мети. У цій частині виразу (20) має фігурувати співвідношення між тензором інерції і кутовою швидкістю тіла. Приступимо, для початок звернувши твір тензорів Леві-Чивиты

image

Наявне істотне спрощення виразу — за рахунок властивостей дельти Кронекера і того, що векторний добуток image. Але тензора інерції в (25) не видно. З метою його отримати проведемо ряд еквівалентних перетворень

image

Тут ми знову врахували, що image, скористалися властивостями дельти Кронекера і операцією підняття/опускання індексів при множенні на метричний тензор. І тепер ми інтегруємо (26)

image

Тут ми знову бачимо тензор інерції

image

з урахуванням якого отримуємо компактне вираз для складовою головного моменту сил інерції, пов'язаного з відцентровими силами

image

Вираз (27) еквівалентно векторно-матричному співвідношенню

image

І хоч мене і переповнюють пафосні фрази, відкладу на потім, а зараз акуратно випишу підсумковий результат у векторній формі.

У загальному випадку руху твердого тіла головний вектор і головний момент сил інерції, прикладених до твердого тіла, рівні

image

А тепер все ж захопимося — не дивлячись на те, що вищенаведені перетворення схожі на єгипетські ієрогліфи, вони формальні, ми просто виконували дії над індексами тензорів і використовували властивості тензорних операцій. Нам не треба було вправлятися з векторами, розписувати векторні операції в компонентах і зводити отримані проекції векторів до результатів матричних операцій. Усі матричні та векторні операції кінцевих вираз вийшли у нас автоматично. До того ж, природним чином отримані такі фундаментальні характеристики як координати центру мас тіла і тензор інерції.

Читаючи лекції студентам я задався метою вивести (29) і (30) оперуючи векторами. Після того як я переклав стопку паперу і неабияк поламавши мізки я прийшов до результату. Повірте на слово — вищенаведені перетворення просто насіння, в порівнянні з тим, через що треба пройти не використовуючи тензорів.

До того ж, виразу (29) і (30) отримані нами для довільного центру приведення сил, в якості якого ми взяли полюс O1. Ці вирази допоможуть нам зрозуміти що таке центр мас тіла і його важливість для механіки.

4. Особлива роль центру мас

Використовуючи формули (29) і (30) повернемося до рівнянь (10) і (11) і, виконавши підстановку, прийдемо до диференціальних рівнянь руху твердого тіла

image

Чим погані ці рівняння? А тим, що вони залежать один від одного — прискорення полюса буде залежати від кутового прискорення та кутовий швидкості тіла, кутове прискорення — від прискорення полюса. Вектор imageвизначає положення центру мас тіла по відношенню до полюса. А що якщо ми виберемо полюс прямо в центрі мас? Адже тоді imageі рівняння (31), (32) візьмуть більш простий вигляд

image

Дізнаєтеся ці рівняння? Рівняння (33) — теорема про рух центра мас механічної системи, а (34) — динамічне рівняння Ейлера сферичного руху. І ці рівняння незалежні один від одного. Таким чином, центр мас твердого тіла, щодо якої сили інерції приводяться до найбільш простому вигляді. Поступальний рух разом з полюсом і сферичне навколо полюса — динамічно розв'язані. Тензор інерції тіла imageобчислюється щодо центру мас і називається центральним тензором інерції.

Рівняння (33), (34) в зарубіжній літературі називають рівнянням Ньютона-Ейлера, і, в даний час досить активно використовуються для побудови ПЗ, призначеного для моделювання механічних систем. В рамках циклу про тензорах ми ще не раз про них згадаємо.

Висновок

Прочитана вами стаття має дві мети — в ній ми ввели базові поняття динаміки твердого тіла і проілюстрували потужність тензорного підходу при спрощення громіздких векторних співвідношень.

Надалі ми докладніше зупинимося на тензоре інерції і вивчимо його властивості. Занурившись в нетрі аналітичної механіки, зведемо рівняння (31) — (34) до рівнянь руху в узагальнених координатах. Загалом, розповісти ще є про що. А поки, дякую за увагу!

Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.