Королівство багатошарових дзеркал

Сьогодні ми познайомимося з багатошаровими дзеркалами. Дізнаємося, навіщо вони потрібні і як їх моделюють за допомогою методу матриць переносу.



Що не так з звичайними дзеркалами?
Звичайне дзеркало з ванною (і його більш якісні побратими) – це ні що інше як тонка гладка металева плівка. При відображенні від неї втрачається приблизно п'ять відсотків світла. Іноді це буває критично – скажімо, в телекомі (чим менше сигналу втрачаємо, тим менше ставити проміжних підсилювачів) або в складній оптиці типу як перископи (якщо втрачати на кожному дзеркалі 5%, до спостерігача дійде дуже і дуже небагато).

З іншого боку, поглинання світла на дзеркалі викликає його нагрівання. І якщо 5 % від лазерної указки – це щось ефемерне, то 5 % від промислового лазера для різання – це близько вати, що може помітно нагріти тонку плівку. Все ще цікавіше у імпульсних лазерів, де пікова потужність достатня для того, щоб розплавити дзеркало. Приблизно ось так:



Трохи фізики
Напевно, багато хто чули про просвітлення оптики. Це хитре покриття лінз, що дозволяє знизити відбиття від їх передньої поверхні майже до нуля. Тобто світ не буде витрачатися на відображення, а повністю піде в оптичну систему. Фізично це відбувається за рахунок деструктивної інтерференції від різних верств просвітлюючого покриття.


Бінокль з покриттям, що просвітлює.

Цю ж ідею можна використовувати у зворотний бік: щоб відображення не послаблювалася, а навпаки, посилювався. Нам знадобиться листковий пиріг з двох різних матеріалів, кожен завтовшки в чверть довжини хвилі. На кожному з стиків двох матеріалів частина світла відбивається назад. Якщо все відображення, вийшли назовні, будуть мати одну і ту ж фазу, відбудеться конструктивна інтерференція і відбитий сигнал буде мати максимально можливу інтенсивність.



Такий «листковий пиріг» називають діелектричним дзеркалом, багатошаровим дзеркалом, або розподіленим бреггівським відбивачем (по-англійськи distributed Bragg reflector, DBR). «Розподілений» він тому, що відображення відбувається не на одній поверхні, а відразу на декількох. Коефіцієнт відбиття може запросто досягати 99.99 %, а значить у порівнянні з металевими дзеркалами втрати знижуються на 2-3 порядки.

Трохи математики
Давайте подивимося докладніше на схему відбиттів. Падаючий промінь відбивається назад на кожній межі двох середовищ. Правда, кожен відбитий промінь теж позначається на кожній із меж, яку він проходить по дорозі назад – тепер вже в іншу сторону. Кожен з цих промінчиків ще раз відбивається… чорт, як же їх всіх порахувати?

На допомогу приходить метод матриць переносу. Суть його в тому, що ми перестаємо стежити за кожним промінцем окремо, а дивимося лише на результат їх складання. Тобто ми задаємо вектор, що описує хвилю в кожній точці.
Взагалі кажучи, в кожній точці є дві хвилі: одна поширюється направо (назвемо її ER), друга – ліворуч (EL). Тоді наш вектор має два елементи, причому комплексних: адже нас цікавлять як амплітуда світла (модуль числа), так і його фаза (відповідно, фаза).



Для будь-яких двох точок вектора будуть пов'язані певним лінійним виразом, що враховують поширення світла через середовище і через межі двох середовищ. Записати вираз можна за допомогою матриць. В принципі, нам потрібно дві матриці. Перша (назвемо її М1) пов'язує вектора зліва і праворуч від границі розділу. Друга (М2) описує розповсюдження хвилі в однорідному середовищі (між границями розділу).





Як все це виводитьсяПочнемо з М1. Уявімо, що на кордон розділу двох середовищ світло падає з обох сторін. Для кожного з промінчиків ми можемо порахувати відсоток відображення і заломлення, а потім скласти результати. Вирази виходять з формул Френеля. Якби світло падало тільки зліва (E1R), то відображення і заломлення давалися б формулами



де n1 n2 – показники заломлення двох середовищ. Якби світло падало тільки праворуч (E2L), ми б мали відповідно



Комбінуючи вирази, отримуємо



Матриця М2 виглядає набагато простіше. Так як промені, що летять вліво і вправо, не взаємодіють, матриця диагональна. Амплітуда світла не змінюється – значить, модуль елементів матриці дорівнює 1. Змінюється тільки фаза: променя, летить вправо вона збільшується, що летить вліво – зменшується (знак мінус в експоненті). Виходить



де L – товщина шару, лямбда – довжина хвилі.


Комбінуючи М1 і2, ми можемо зв'язати два вектора в будь-яких точках простору. Наприклад, між точками А і В на малюнку нижче залежність буде така:





Тобто ми просто перемножуємо поспіль матриці для всього, через що проходить світло (він йде зліва направо):
— межа повітря і 1 шару (вхід в дзеркало)
— поширення в першому шарі
— межа 1-2 шарів
— поширення у другому шарі
— межа 2-3 шарів
і так далі до виходу з дзеркала. І отримуємо одну матрицю 2х2, описує всі дзеркало відразу!

Я не випадково вибрав точки з двох сторін дзеркала. В точці А верхня компонента вектора (яка летить праворуч) – це хвиля, яку ми посилаємо на дзеркало. Нижня компонента – це відображення, яке ми хочемо порахувати. У точці В (відразу за дзеркалом) верхня компонента – це пропускання дзеркала, а нижня дорівнює нулю тому, що зі зворотного боку на дзеркало нічого не падає. У підсумку виходить елементарне матричне рівняння



де r і t – віддзеркалення і пропускання відповідно. Звідси, не забуваючи, що інтенсивність – це квадрат амплітуди, отримуємо відображення



На закінчення зауважимо, що для інших довжин хвиль шари будуть мати товщину, відмінну від чверті довжини хвилі, тому коефіцієнт відбиття може змінитися. Щоб дізнатися, в якому спектральному діапазоні дзеркало буде відображати, доведеться повторити розрахунок для різних довжин хвиль.

Код і трохи оптимізації
Код прямолінійний. Для кожної довжини хвилі потрібно обчислити М1 і2, після чого перемножити їх потрібну кількість разів. Так як результати для різних довжин хвиль незалежні, обчислення добре параллелятся на багатоядерних процесорах. Код, на якому вважалися приклади нижче, написаний на MATLAB'е. Згадаю кілька тонкощів.

1. М1 і2 для різних довжин хвиль різняться з-за різних показників заломлення (це називається словом дисперсія). Зазвичай значення показників заломлення табулированы і змінюються досить гладко, тому вони добре інтерполюються поліномом.

Проблема виникає, якщо починаючи з певної довжини хвилі матеріал починає поглинати світло (скажімо, так ведуть себе напівпровідники). Зазвичай для довжини хвилі, на якій починається поглинання, хороших табульованих даних немає взагалі; а між значеннями ліворуч і праворуч від неї є розрив. У цьому випадку интерполируют окремо області ліворуч і праворуч від «поганої» точки, а саму точку ігнорують.

2. Якщо дзеркало складається з N пар шарів, то замість обчислення М1 і2 для кожного шару можна обчислити їх один раз для пари шарів, а потім перемножити їх N раз в потрібному порядку. Іншими словами, спочатку порахувати матрицю переносу пари шарів, а потім звести її в N-ий ступінь. У цьому можуть здорово допомогти поліноми Чебишева.

Зведення в ступінь за допомогою поліномів Чебишева.Нехай M – унимодулярная матриця 2х2 (тобто детермінант її дорівнює 1 або -1). Тоді



де

,

a



— поліноми Чебишева другого роду.


Цікаві результати
1. Типовий спектр відбиття. Простий приклад – дзеркало з чергуються шарів TiO2 і SiO2, кожного по 10 разів. Відображення досягає максимуму у визначеному діапазоні: на картинці – від 420 до 600 нм, тобто наше дзеркало працює в синьо-зеленій області. Поза робочого діапазону відображення скаче від нуля до невеликих значень; в цих областях дзеркало не зовсім зовсім не дзеркало, а просто даремний шматок скла. У максимумі відображення приблизно дорівнює 99.97%.



2. Більше шарів – краще відображення. до Речі, прийнято вважати не шари, а їх пари. На картинці нижче червоний спектр – 5 пар TiO2/SiO2, синій – 10 пар. На практиці не використовують дуже багато пар, тому що це збільшує час виготовлення. Приблизні числа – 5-7 пар для дзеркал у звичайних лазерних діодах і волоконних лазерах; 20-30 для дуже специфічних застосувань типу квантової оптики.



3. Контраст або різниця показників заломлення двох матеріалів. Чим вона більше, тим менше пар потрібно для дзеркала того ж якості. На картинці нижче спектри дзеркал з 10 пар TiO2/SiO2 (синій) і ZrO/SiO2 (бузковий). В останнього різниця показників заломлення менше, тому максимальне відображення 99.24% (проти 99.97% у TiO2/SiO2) – іншими словами, втрати в ZrO/SiO2 дзеркалі в 25 разів більше.



4. Точність виготовлення. Шари вкрай тонкі (0.1-0.2 мікрона), і невеликі відхилення помітно впливають на якість. Для відтворюваності спектру критично відстежувати не товщину кожного шару, а товщину пари. Подивимося, що станеться з нашим дзеркалом з 10 пар TiO2/SiO2 (синій спектр) при різних помилки у виготовленні. Якщо всі верстви одного матеріалу будуть на 10% товще, а другого – на 10% тонше (зелений), то товщина пари збережеться незмінною і якість дзеркала зміниться досить слабо. В той же час відхилення тільки одного шару на 5% змінює товщину пари і помітно зрушує спектр (червона крива).



Де це потрібно
Само собою, в першу чергу метод матриць переносу потрібен відповідним R&D. Лазерні діоди, волоконні лазери, дзеркала (в діапазоні від терагерцовых до м'якого рентгена), вузькосмугові фільтри і навіть просвітлення оптики вважається саме ними.

Далі, ми бачили, що інтерференція дуже чутлива до товщині шарів. В принципі, якщо ми приблизно знаємо складу якоїсь шаруватої структури, можна визначити її товщину шарів з точністю порядку нанометра. Для цього потрібно виміряти її спектр відбиття і підігнати його, варіюючи товщини шарів в алгоритмі. Виходить така система для реверс-інжинірингу шаруватих структур. Причому її вартість на порядки менше вартості електронного мікроскопа з таким же дозволом.

Звідси випливає ще одне застосування – фідбек на виробництві дзеркал. Спектр відбиття виготовленого дзеркала легко виміряти і порівняти з теоретичним. Якщо відмінності істотні, моделювання може показати, що саме пішло не так в техпроцесі. Більш того, фідбек можна отримувати в реальному часі у процесі виготовлення: на напилюються дзеркало світить лампочка, а виміряний спектр відбиття виводиться на екран.

далі
Формули вище описують нормальне відображення (тобто перпендикулярний до дзеркала). В реальності часто потрібні дзеркала, що відбивають під кутом. Для таких розрахунків алгоритм трохи ускладнюється: доводиться додавати ще один цикл за різних значень кутів.

Трохи складніше розрахувати увігнуте або опукле дзеркало: треба окремо розглядати різні ділянки поверхні. Зазвичай у такій ситуації доводиться чимось жертвувати: спектром, кутами віддзеркалення, поляризаційними властивостями. Цю задачу часто довіряють генетичним алгоритмом, налаштованому на максимізацію необхідних параметрів. Скажімо, можна зробити дзеркало, що відбиває світло під усіма кутами, але спектр і якість будуть не кращими. Або зробити дзеркало з відображенням близько 99.999% – але тільки для однієї довжини хвилі і під одним кутом.

Невеликий плюс в тому, що необов'язково використовувати періодичну структуру: товщина шарів може змінюватися як завгодно (таке дзеркало називається аперіодіческій). Можна варіювати відразу десяток товщин – яке роздолля для генетичного алгоритму! Саме так розраховують дзеркала для рентгенівської літографії, яка використовується в сучасних техпроцесу в мікроелектроніці.

Джерела
М. Борн, Е. Вольф «Основи оптики».
форумі dxdy хороша замітка про поліноми Чебишева.
Картинки: КДПВ, 1, 2, 3.

Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.