Як обчислюється середній час до відмови і ймовірність безвідмовної роботи?

Поняттям MTTF (Mean Time To Failure — середній час до відмови) та іншим термінам теорії надійності присвячена велика кількість статей, у тому числі на Хабре (див., наприклад, тут). Разом з тим, рідкісні публікації «для широкого кола читачів» зачіпають питання математичної статистики, і вже тим більше вони не дають відповіді на питання про принципи розрахунку надійності електронної апаратури за відомими характеристиками її складових елементів.

Останнім часом мені досить багато доводиться працювати з розрахунками надійності і ризиків, і в цій статті я постараюся заповнити цей пробіл, відштовхуючись від свого попереднього матеріалу (з циклу про машинному навчанні) про пуасонівського випадковому процесі і підкріплюючи текст обчисленнями Mathcad Express, повторити які ви зможете скачавши цей редактор (детальніше про нього тут, зверніть увагу, що потрібна остання версія 3.1, як і для циклу machine learning). Самі маткадовские розрахунки лежать тут (разом з XPS — копією).

1. Теорія: основні характеристики відмовостійкості
Начебто, з самого визначення (Mean Time To Failure) зрозумілий його зміст: скільки (звичайно, в середньому, оскільки імовірнісний підхід) прослужить виріб. Але на практиці такий варіант не дуже корисний. Дійсно, інформація про те, що середній час до відмови жорсткого диска становить півмільйона годин, може поставити в глухий кут. Набагато інформативніше інший параметр: ймовірність поломки або ймовірність безвідмовної роботи (ВБР) за певний період (наприклад, за рік).

Для того щоб розібратися в тому, як пов'язані ці параметри, і як, знаючи MTTF, обчислити ВБР та ймовірності відмови, згадаємо деякі відомості з математичної статистики.

Ключове поняття теорії надійності — це поняття відмови, що вимірюється, відповідно, інтервальним показником
Q(t) = імовірність того, що виріб відмовить до моменту часу t.
Відповідно, ймовірність безвідмовної роботи (ВБР, в англійській термінології «reliability»):
P(t) = імовірність того, що виріб пропрацює без відмови від моменту t0=0 до моменту часу t.
За визначенням, в момент t0=0 виріб знаходиться в працездатному стані, тобто Q(0)=0, P(0)=1.

Обидва параметри — це інтервальні характеристики відмовостійкості, оскільки мова йде про ймовірність відмови (або навпаки, безвідмовної роботи) на інтервалі (0,t). Якщо відмова розглядати, як випадкова подія, то, очевидно, що Q(t) — це, за визначенням, його функція розподілу. А точкову характеристику можна визначити, як
p(t)=dQ(t)/dt = щільність ймовірності, тобто значення p(t)dt дорівнює ймовірності, що відмова відбудеться в малій околиці dt моменту часу t.

І, нарешті, найважливіша (з практичної точки зору) характеристика: λ(t)=p(t)/P(t)=інтенсивність відмов.
Це (увага!) умовна щільність ймовірності, тобто щільність ймовірності виникнення відмови в момент часу t за умови, що до цього розглянутого моменту часу t виріб працювало безвідмовно.

Виміряти параметр λ(t) експериментально можна шляхом випробування партії виробів. Він буде Якщо до моменту часу t працездатність зберегло N виробів, то за оцінку λ(t) можна прийняти відсоток відмов в одиницю часу, що відбуваються в околиці t. Точніше, якщо в період від t до t+dt відмовить n виробів, то інтенсивність відмов буде приблизно дорівнює
λ(t)=n/(N*dt).

Саме ця λ-характеристика (у разі її залежністю від часу) і наводиться найчастіше в паспортних даних різних електронних компонентів і самих різних виробів. Тільки відразу виникає питання: а як обчислити ймовірність безвідмовної роботи і при чому тут середній час до відмови (MTTF).

А ось при чому.

2. Експоненційний розподіл
В термінології, яку ми тільки що використовували, поки не було ніяких припущень про властивості випадкової величини — моменти часу, в який відбувається відмова виробу. Давайте тепер конкретизуємо функцію розподілу значення відмови, вибравши в якості неї експоненційну функцію з єдиним параметром λ=const (сенс якого буде ясний через кілька пропозицій).



Диференціюючи Q(t), отримаємо вираз для густини ймовірності експоненційного розподілу:
,
а з нього — функцію інтенсивності відмов: λ(t)=p(t)/P(t)=const=λ.

Що ми отримали? Що для експоненціального розподілу інтенсивність відмов — є величина постійна, причому збігається з параметром розподілу. Цей параметр і є головним показником стійкості і її часто так і називають λ-характеристикою.

Мало того, якщо тепер порахувати середній час до першої відмови — той самий параметр MTTF (Mean Time To Failure), то ми отримаємо, що він дорівнює MTTF=1/ λ.

image

Все це чудові властивості експоненціального розподілу. Чому ми обрали для опису відмов саме його? Та тому що це найбільш проста модель — модель пуассонівського потоку подій, яка вже була нами розглянутау статті про аналіз конверсії сайту. Тому-то в теорії надійності найбільш часто використовується показове (експоненційний) розподіл, для якого, як ми з'ясували:
  • надійність елементів можна оцінити одним числом, т. к. λ=const;
  • за відомою λ досить просто оцінити інші показники надійності (наприклад, ВБР для будь-якого часу t);
  • λ володіє хорошою наочністю
  • λ неважко виміряти експериментально


Але це ще не все, тому, що для експоненціального розподілу особливо легко робити розрахунок систем, що складаються з безлічі елементів. Але про це — в наступній статті (продовження слідує).

Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.