Детальний погляд на спадщину Лейбніца


Переклад статті Стівена Вольфраму (Stephen Wolfram) "Dropping In on Gottfried Leibniz".

Протягом багатьох років мене цікавила особистість Готфріда Лейбніца, зокрема з-за того, що він хотів створити щось на подобу Mathematica, Wolfram|Alpha чи A New Kind of Science але на три сторіччя раніше. Тому коли в недавньому минулому я відвідав Німеччину, то мені пристрасно захотілося побувати в його архівах в Ганновері.

Гортаючи пожовклі від часу, але все ще міцні листи з його записами я відчував деяку взаємозв'язок — я намагався уявити, про що він думав, коли писав їх. Також я намагався зіставити зміст записів з тим, що ми знаємо зараз — три століття тому.

post_55_1.gif

Деякі речі в математиці не змінюються з плином часу — наприклад тут Лейбніц записав розкладання в ряд квадратного кореня з двох (сам текст написаний на латині):

post_55_2.gif

Або тут Лейбніц спробував обчислити неправильний дріб — і хоча тут присутній арифметична помилка, він тим не менш довів результат до кінця (П — в його ранній нотації означало знак рівності).

post_55_3.gif

А тут ви можете бачити деякі пункти з математичного аналізу, які практично в такому вигляді можна зустріти в сучасних підручниках.

post_55_4.gif

Але в чому полягала суть його основних робіт? Над чим Лейбніц розмірковував більшу частину свого часу?

Я завжди вважав Лейбніц неоднозначною особистістю. Він зробив безліч на перший погляд не пов'язаних між собою речей — у філософії, математики, теології, в законодавчому справі, фізики, історії та інших областях. Всі свої досягнення він описав в уявній нам сьогодні дивній манері 17-го століття.

Але з часом, я почав краще розуміти Лейбніца як людину і мені відкрилося, що майже все що він робив, було спрямовано на досягнення єдиної мети, яка, як це не дивно, дуже схожа на ту, до якої я прагну сьогодні.

Готфрід Лейбніц народився в Лейпцигу в 1646 (зараз це німецьке місто). Він народився через чотири роки після смерті Галілея і народження Ньютона. Його батько був професором філософії а його мати була з родини книготорговців. Батько Лейбніца помер коли йому було 6, але лише через два роки після йому було дозволено користуватися бібліотекою батька. Лейбніц почав читати все залпом. У 15 років він поступив в місцевий університет, вивчав філософію і право. У 20 років він отримав дипломи за обома напрямками.

Вже будучи підлітком Лейбніц виявляв інтерес до систематизації і формалізації знань. На той час існували лише смутні ідеї про систематизації знань, наприклад, в полумистическом працю Ars Magana (лат. велике мистецтво) написаному Раймундом Луллием (Ramon Llull) у 1300-х можна постаратися знайти опис універсальної системи в якій всі знання можуть бути виведені з комбінацій знаків належать (як Декарт (Descartes) назвав це) «алфавітом людської думки». У своїй дипломної роботі з філософії Лейбніца притримувався цієї ідеї. Він використовував прості принципи комбінаторної математики для розрахунку числа можливостей, міркував про декомпозиції ідей на прості компоненти з якими можна працювати за допомогою «логіки винахідництва». І для оцінки свого методу він включив в роботу задачу, рішення якої повинно було довести існування Бога.

Як сам Лейбніц говорив пізніше — ці тези написані в 20 років були в більшості своїй наївні. Але мені здається що вони вже характеризували образ думок Лейбніца з яким він не розлучався впродовж всього життя. Приміром, його дипломна робота по праву про «ставлять у глухий кут судових справах» була присвячена тому, як ці справи можуть бути вирішені з використанням логіки і комбінаторики.

Лейбніц повинен був стати професором, але замість цього він вирішив почати працювати в якості радника різних судових і політичних діячів. Досить часто він проводив дослідження, розбираючи темні місця їх походження та історії. Також він проводив систематизацію їх бібліотек, різних правових кодексів і т. д. Бувало, йому доводилося вирішувати різні інженерні задачі, наприклад, як найкращим чином захистити срібні копальні від води. Однак на початку частіше всього це були просто консультації з політичного маневрування.

З-за одного такого справи в 1672 році Лейбницу довелося виїхати в Париж на 4 роки — за цей час він спілкувався з багатьма провідними просвітителями того часу. До цього знання Лейбніца в математиці були лише поверхневими. Але в Парижі він вивчив всі найсучасніші ідеї і методи. Зокрема він розшукав Християна Гюйгенса (Christiaan Huygens), який погодився навчати його математики після того, як йому вдалося пройти тест по відшуканню суми обернених трикутних чисел.

Протягом кількох років Лейбніц відточував свої ідеї про систематизації і формалізації знань, розробляючи архітектуру того що зробило б знання, кажучи сучасною мовою обчислюваними. Перший крок він бачив у розробці ars characterisitca — методології яка дозволила б поставити у відповідність деяким речам символьні представлення тим самим створити однорідний «алфавіт думок». Потім — як він вважав — даний алфавіт дозволить відшукати «істини в усіх сферах, використовуючи математику, будь то арифметика або алгебра».

Він придумав безліч амбіційних назв для своїх ідей scientia generalis («загальний метод знань»), lingua philosophica («мова філософії»), математична universelle («універсальна математика»), characteristica universalis («універсальна система») і calculus ratiocinator («математика думки»). Він бачив безліч застосувань своїм ідеям практично у всіх сферах життя — право, медицина, інженерна справа, теологія і т. д. Але найбільшого успіху він досяг у математиці, і сталося це досить швидко.

На мій погляд найбільш примітним є той факт, що в історії математики вкрай рідко піднімалося питання нотації. Це відбувалося на початку розвитку сучасної математики у кінці першої декади 19 століття завдяки роботам таких людей як Готлоб Фреге (Gottlob Frege) і Джузеппе Пеано (Giuseppe Пеано). А в сучасному світі це сталося завдяки моїм роботам по створенню системи Mathematica і мови Wolfram. Однак схожа подія трапилася також і більше трьох століть тому завдяки Лейбницу. І мені здається, що успіхи Лейбніца в математиці багато в чому зобов'язані того наскільки він наполегливо працював з проблемою нотації, з якою ясністю він міркував про математичних структурах і зв'язаних з ними поняттях.

Якщо ви подивіться на його замітки то побачите в явному вигляді процес розвитку нотації. Багато речей виглядають сучасними, але не позбавлені шарму 17 століття, наприклад, використання символів алхімії чи астрономії для позначення алгебраїчних змінних.

post_55_5.gif

Тут символ П використовується замість знака рівності. У Лейбніца була цікава ідея про те що коли ніжки П рівні — це рівність, коли, наприклад ліва ніжка довше це еквівалентно знаком ">" і навпаки.

post_55_6.gif

Риски над частинами виразів служать для групування — ідея мені подобається більше ніж дужки хоча їх було б складніше вводити з клавіатури.

post_55_7.gif

Ми використовуємо такі риски для квадратних коренів, але Лейбніц хотів використати їх також в интегралах разом з символом «d з хвостиком» яка нагадує мені про один з символів Mathematica, який ми створили для представлення інтегралів системі.

post_55_8.gif

Зокрема при вирішенні рівнянь досить поширеним є символ "±" і тому часто виникає плутанина як згрупувати змінні вираженні, скажімо, a±b±c. Здається Лейбніц теж вважав це дуже незручною перешкодою і він представив позначення яку було б корисно використовувати сьогодні.

post_55_9.gif

На рахунок деяких позначень у мене немає однозначних думок хоча багато хто з них, наприклад «тільди зверху» виглядають досить мило.

post_55_10.gif

Також як і ці елементи з точками:

post_55_11.gif

Або тут щось схоже на діаграми…

post_55_12.gif

Звичайно самим знаменитим елементом нотації Лейбніца є знак інтеграла (довге s) і d тут з лівого краю документа вони представлені разом вперше 11 листопада 1675 року, потім 5 було замінено на 3 ймовірно самим Лейбніцем.

post_55_13.gif

Мені здалося цікавим, що всі його позначення для різних операторів сильно відрізняються від логічних операторів. Оператор «або» це просто латинський переклад vel, «і» — et і так далі. А коли він придумав квантори (загальності та існування) він позначив їх абревіатурами на латині U. A. P. A.

post_55_14.gif

Мене завжди вражало, що ідея створення універсальної мови для оперування будь-якими даними з'явилася лише в тридцятих роках двадцятого століття. Тому мені було цікаво могли перші начерки такої системи ховатися в працях Лейбніца — взяти хоча б тільки що розглянуту діаграму яку зараз ми можемо назвати деяким подобою машини Тюрінга. Але з часом, вивчивши більше інформації про самого Лейбніца я зрозумів що все таки це не той випадок.

Одним з основних доказів мого припущення є те, що Лейбніц всерйоз не розглядав дискретні системи. Він називав результати комбінаторних розрахунків «очевидними і не вимагають доказів» імовірно тому що, він вважав, їх можна підтвердити з використанням простої арифметики. А сам математичний апарат він розробляв лише для «геометричній» або безперервної математики. При описі властивостей кривих Лейбніц вже тоді запропонував аналог безперервних функцій, однак йому ніколи не приходило в голову застосувати той же принцип до дискретної математики, що могло, наприклад, привести його до думки про універсальних елементів для побудови функцій.

Лейбніц розумів всю значимість розробленого ним апарату нескінченно малих значень і хотів розробити подібний механізм «calculi» для інших областей знань. Ще одна ідея, близька до єдиної системи знань полягала в кодуванні логічних властивостей. Він хотів кожного можливого властивості поставити у відповідність просте число, і потім кожен предмет можна було б охарактеризувати твором цих простих чисел. Такий підхід дозволив би показати логічну різницю між предметами за допомогою арифметичних операцій. Але він розглядав лише статичні властивості і йому ніколи не приходила в голову ідея аналогічна нумерації Геделя (Гедель) де кодуються числами також операції.

Але навіть не дивлячись на те, що Лейбніц не прийшов до ідеї універсальної системи управління знаннями він все одно розумів, що обчислення це насамперед механічний процес. І досить рано у своєму житті він вирішив побудувати справжній механічний калькулятор для арифметичних операцій. Частково це обумовлено тим, що Лейбніц сам потребував такого пристрої (найкраща мотивація для такого роду речей). Незважаючи на його майстерність в алгебрі тощо, його твори сповнені умилительных розрахунків у стовпчик на полях (часом з помилками) які збережені для нащадків.

post_55_15.gif

Існували окремі приклади механічних калькуляторів, створених за часів Лейбніца, і коли він був у Парижі, він без сумніву бачив який складав калькулятор створений Блезом Паскалем (Blaise Pascal) в 1642 році. Але Лейбніц хотів зробити універсальний калькулятор, який міг виконувати чотири основні арифметичні операції. Також йому хотілося, щоб калькулятор був простим у використанні, наприклад, поворот ручки в одну сторону означав би множення, а в іншу — поділ.

У роботах Лейбніца існує безліч креслень і схем цієї машини:

post_55_16.gif

Він уявляв собі, що його калькулятор принесе величезну практичну користь і чималу частку його фантазій становили ідеї успішного розвитку бізнесу пов'язаного з калькулятором. Але на жаль Лейбницу не вдалося зробити калькулятор надійним — далеко не завжди він видавав правильний результат. Як і більшість подібних механізмів того часу калькулятор представляв собою лише приукрашенный путемер (одометр). Лейбніц зіткнувся з тією ж проблемою, що і Чарльз Беббідж (Charles Babbage) двісті років тому — вкрай складно змусити всі диски рухатися одночасно, коли це необхідно.

На початку Лейбніц створив дерев'яний прототип який він сподівався зможе працювати з тризначними або чотиризначними числами. Але на попередніх показах зокрема перед Робертом Хуком (Robert Hooke) в Лондоні в 1673 механізм підвів його. Проте він продовжив розмірковувати над його удосконаленням — в 1679 році була опублікована робота «Останні доопрацювання до арифметичної машині»:

post_55_17.gif

Замітки від 1682 року говорять про те, що Лейбніц зіткнувся з новими проблемами:

post_55_18.gif

Але у нього були креслення і він замовив у інженерів виробництво мідної версії механізму для роботи з великим числом цифр:

post_55_19.gif

Зокрема Лейбніц підготував навіть «маркетинговий матеріал» для своєї машини:

post_55_20.gif

… та інструкцію користувача…

post_55_21.gif

Тут зображена повна модель машини з інструкціями по використанню:

post_55_22.gif

Але незважаючи на всі його зусилля, калькулятор все ще не працював. Лейбніц працював над калькулятором протягом сорока років і витратив на нього в цілому при перерахунку на сьогоднішній курс більше мільйона доларів

Коли я відвідав його архів — я не міг не запитати кураторів про те, що ж сталося з цим калькулятором. «Хм, ми можемо Вам показати його», — була відповідь. Калькулятор стояв на одній з численних полиць в підвалі і виглядав абсолютно новим в своєму скляному ящику — моє власне фото в якому дивним чином переплітаються минуле і сучасність:

post_55_23.gif

Калькулятор не втратив жодної деталі. Він був у зручному переносному дерев'яному чохлі з ручкою для проведення арифметичних операцій. Якщо б він працював правильно то всього за декілька хвилин обертання цієї ручки ми могли б отримати відповідь на будь-яке питання з розділу простої арифметики.

post_55_24.gif

Лейбніц вважав свій калькулятор практичним проектом, але тим не менш він також хотів використати його для того, щоб створити «логіку» описує механічні зв'язку. Також він розмірковував про природу чисел і арифметики. Ще він був вражений двійковими числами.

Підстави відмінні від 10 протягом століть використовувалися в різних цікавих математичних прикладах, але Лейбніц зосередився на підставі 2 так як вважав що воно має особливе значення і, можливо, є мостом між філософією, теологією і математикою. А коли він дізнався про I Chang від місіонерів з Китаю це лише зміцнило його віру. Він розглядав цю роботу як споріднену своєї characteristica universalis.

Лейбніц прийшов до висновку що можливо побудувати калькулятор для двійкових чисел але в теж час він вважав, що практичне значення мають лише числа з основою 10.

Сьогодні запису Лейбніца про двійкових числах викликають змішані почуття. Одна частина робіт виглядає цілком сучасно в той час як інша явно відноситься до 17 століття. Приміром, він міркував про те що двійкова система служить доказом того, що все може бути отримано з нічого, що 1 це Бог, а 0 це ніщо.

Після Лейбніца протягом ще декількох століть двійкова система числення не розвивалася аж до недавнього зростання, пов'язаного з появою комп'ютерів. Тому розрахунки Лейбніца стосуються двійкової системи сміливо можна назвати випереджаючими час:

post_55_25.gif

Працюючи з двійковими числами Лейбніц шукав найпростіший спосіб опису структури речей. І коли він ввів поняття «монади» він без сумніву прагнув до того ж самому. Повинен сказати я так ніколи і не зможу зрозуміти монади. Коли мені здавалося, що я все розумію перебував якийсь нюанс який руйнував всю цілісність картини.

Мені завжди здавалося дражливим те, що Лейбніц прийшов до висновку, що найкращий з усіх можливих світів це світ, в якому величезна різноманітність явищ слід з мінімально можливого числа передумов. І дійсно в той час коли я тільки починав працювати над NKS коли я сформулював, потім вивчав одномірні клітинні автомати в 1981 році, я хотів назвати їх «полимоны» але в останню мить злякався так як знову заплутався в монадах.

Навколо Лейбніца і його праць завжди існувала якась таємниця. Курт Гедель (Kurt Гедель) (можливо в нападі параної) був переконаний, що відкрив Лейбніц велику істину яку потім приховали від суспільства на століття. Але незважаючи на той факт, що роботи Лейбніца були вилучені після його смерті це сталося з-за того, що у працях з історії та генеалогії містилися відомості не підлягають оприлюдненню будь то державні чи особисті таємниці можновладців.

Праці Лейбніца були опубліковані давним-давно, але до цих пір до кінця не вивчені. І проблема не в тому, що їх занадто багато. Всього це близько 200 000 сторінок, які заповнюють не більше дюжини книжкових полиць. Це лише трохи більше ніж мій особистий архів, який я веду з 1980-х. Утруднення викликає різнорідність матеріалу — не тільки різноманітні галузі знань, але й малюнки, створені один поверх іншого, записки і листи взаємозв'язок між якими не до кінця зрозуміла.

Архів документів Лейбніца містить як дуже великі документи:

post_55_26.gif

так і дуже маленькі (з віком почерк Лейбніца став більш дрібним і щільним):

post_55_27.gif

Більшість документів в архіві виглядають дуже серйозно і по-науковому. Проте, не дивлячись на те, що папір за часів Лейбніца коштувала досить дорого — він не соромився витрачати її на кумедні малюнки (можливо це Спіноза?).

post_55_28.gif

Лейбніц підтримував поштову переписку з сотнями людей — як відомих так і не дуже по всій Європі. І тому 300 років потому в його архівах можна знайти випадкові листи від відомих людей, наприклад, від Якоба Бернуллі (Jacob Bernoulli):

post_55_29.gif

Як виглядав Лейбніц? Ви можете бачити офіційний портрет і неофіційний бюст, на якому немає великого перуки, який служив причиною насмішок навіть в той час. Імовірно Лейбніц носив перуку, щоб приховати кісту на голові.

post_55_30.gif

Як особистість Лейбніц був ввічливим і стриманим. У певному сенсі його можна було б назвати диваком, який намагався докопатися до суті речей. Вважається, що йому було дуже важко налаштуватися на розмову зі співрозмовником. Лише деякі інтелектуали того часу в тому числі і Лейбніц ніколи не одружувалися, проте наш герой тим не менш користувався успіхом у жінок.

В якості людини при дворі, Лейбніц завжди прагнув піднятися якомога вище, але не маючи пристрасті до полювання або випивки він не вписувався у вищі кола на які працював. Під кінець життя, коли Геогр Перший (George I) з Ганновера став королем Англії, Лейбніц повинен був відправитися з ним до Англії. Але йому було сказано, що до того як відправитися туди він повинен був написати історичний працю над яким він нібито працював вже 30 років. Якщо б він встиг дописати його до своєї смерті і йому б дозволили відплисти в Англію, то тоді у нього міг бути дуже цікавий діалог з Ньютоном.

В архіві Лейбніца крім його паперів і калькулятора є ще одна річ — складаний стілець який він брав з собою подорожуючи і яким він користувався також в якості столу в екіпажах щоб продовжувати писати в дорозі:

post_55_31.gif

Лейбніц завжди турбувався про свій статус — часто підписувався як Gottfried von Leibniz хоча ніхто не знав, звідки взялася ця частинка von. В якості ще одного знака відзнаки за свої відкриття він хотів мати медаль, яка б була присвячена двійковим числом. Він розробив детальний зовнішній вид на якому була присутня напис omnibus ex nihilo ducendis; sufficit unum («все може бути виведено з нічого; все що потрібно це 1»). Але цю медаль йому так ніхто і не зробив.

У 2007 році мені захотілося придумати незвичайний подарунок на 60-річчя мого друга Грега Чатина (Greg Chaitin) який протягом багатьох років вивчав життя і праці Лейбніца. І я зробив для нього медаль Лейбніца. На зворотну сторону медалі замість пропонованого Лейбніцем зображення герцога ми помістили напис на латині про роботах Грега.

Під час відвідування архіву я, звичайно ж, взяв медаль з собою:

post_55_32.gif

Цікаво було б дізнатися яка напис могла б бути на могилі Лейбніца. Але коли Лейбніц помер у віці 70 років, його політична кар'єра була в занепаді і ніяких меморіальних дощок створено не було. Але коли я був в Ганновері мені дуже хотілося побачити його могилу — на якій латиною було написано «Кістки Лейбніца».

post_55_33.gif

Втім по всьому місту, наприклад, продається печиво «Лейбніц»:

post_55_34.gif

Що ж ми можемо сказати про Лейбнице? Якби історія склалася по іншому то сьогодні була б пряма зв'язок між Лейбніцем і сучасними обчисленнями. Але все склалося як склалося і більшість праць Лейбніца залишилися осторонь — ми можемо дивитися на них з точки зору наших сьогоднішніх знань.

Тепер ми знаємо точно, в чому Лейбніц віддавав собі звіт, а чого не розумів. Він ухопився за концепцію формального опису і символьного представлення широкого діапазону різних речей. Він припускав, що існують універсальні елементи (наприклад, 1 і 0), з яких будь-опис може бути створено. Він розумів, що якщо б можна було представити знання в символьній формі, то всі наслідки були б лише питанням механіки. Це дозволило б створити нові знання перераховуючи різні варіанти.

Деякі з робіт Лейбніца були дратівливо абстрактними і філософськими. Але в інших він демонстрував приклади суто практичного підходу. Він володів достатньою майстерністю, щоб в дійсності здійснити прогрес. Його типовим підходом до проблеми було, перш за все, постаратися створити формальний опис використовуючи формальну нотацію по можливості. Потім він намагався створити якийсь математичний апарат використовуючи який можна було б вивести рішення даної проблеми.

По правді кажучи, він досяг успіху лише одного разу, працюючи в сфері безперервної «геометричній» математики. Шкода що він ніколи не намагався серйозно зайнятися дискретної математики, так як, мені здається, він зміг би досягти в ній суттєвих результатів і можливо дійшов би до ідеї універсальних обчислень. Також він міг би дійти до спроби перенумерувати можливі системи за аналогією з тим, як це зробив я обчислювальної всесвіту.

Він спробував застосувати цей підхід у праві, але на той момент це було дуже рано. Тільки зараз — 300 років потому — ця ідея починає здаватися реалістичною.

Лейбніц також працював в області фізики. Він досяг деяких значних результатів, зокрема щодо кінетичної енергії, але він ніколи не намагався запропонувати повну картину світу за аналогією з Ньютоном і його Початок.

У певному сенсі я думаю Лейбніц не зміг зробити більшого так як він занадто сильно намагався знайти практичне застосування своїм дослідженням і — як і Ньютон — намагався описати реальні фізичні процеси, а не оперувати з абстрактними структурами. Якби Лейбніц спробував провести хоча б невелике дослідження по аналогії з тим, що я провів у NKS то у нього, на мій погляд, не виникло б з цим труднощів, а історія науки могла піти зовсім в іншому напрямку.

У свій час я зрозумів, що Ньютону вдалося виграти у Лейбніца інформаційну війну за те, хто перший винайшов апарат математичного аналізу, але основним призом у цій війні була можливість закласти власний погляд на науку і на світ, як основоположний на покоління вперед. Ньютон був більш практичним — він винаходив інструменти для розрахунків стосуються реального світу. У той час як Лейбніц мав більш широкі і філософські погляди — він бачив математичний апарат не як інструмент для досягнення поставлених цілей, а як приклад, який повинен надихати на розробку інших способів формалізації знань в інших сферах.

Я часто думаю, що мій спосіб мислення, мої переконання щодо того, як необхідно працювати зі знаннями в сучасному світі це щось очевидне і те, що неминуче прийде якщо ви почнете думати про мир з формальної точки зору. Але тим не менше я ніколи не розумів є такий спосіб мислення результатом сучасного рівня розвитку обчислювальних технологій. Але праці Лейбніца доводять, що навіть без досягнень сучасних технологій таке ставлення до речей можливо. Звичайно, не можна заперечувати, що оточуючі технології і досвід минулих років накладають обмеження на те, як далеко може піти думка у своєму розвитку.

Такі міркування підводять нас до серйозного питання — наскільки сильно нам не вистачає технологій найближчого майбутнього, щоб просунутися в цьому образі мислення? Для мене це дуже серйозне питання, але одне я можу сказати напевне. Протягом усього життя Лейбніц бачив лише кілька комп'ютерів і все що вони могли зробити — це найпростіші арифметичні операції. Сьогодні мільярди комп'ютерів по всьому світу виконують безліч різних операцій. І в майбутньому число комп'ютерів лише зросте (Principle of Computational Equivalence). І без сумніву ми дійдемо до такого рівня, коли комп'ютери будуть оточувати нас всюди. В результаті ми зможемо програмувати все що завгодно аж до атомів. Звичайно, в біології вже були досягнуті подібні успіхи, але лише в обмеженому обсязі. В майбутньому ніяких обмежень не буде.

В якійсь мірі це спричинить за собою об'єднання обчислень і фізичних процесів. Але уявити це зараз так само складно, як Лейбницу уявити Wolfram Mathematica або Wolfram|Alpha.

Лейбніц помер 14 Листопада 1716 року. У 2016 році буде 300 років з цього дня. І це буде хороший привід для того, щоб нарешті вивчити всі його спадщина і відсвяткувати те що багато з його основних ідей через 300 років були втілені в життя таким способом, який він і не міг собі уявити.

Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.