Про існування періодичних рішень в системі Лоренца

image

Це третій мій топік на Хабре (частина 1 і частина 2), присвячений динамічній системі Лоренца. Я продовжую займатися дослідженням питання про існування періодичних рішень (циклів) в цій системі. Вдалося отримати цікавий результат при певному співвідношенні її параметрів.

Розглянемо систему диференціальних рівнянь Лоренца
image
де image, r b — деякі позитивні числа, параметри системи.

Доведемо, що якщо image, то в системі (1) немає періодичних рішень (крім, звичайно, положення рівноваги).

Зробимо заміну
image
де u(t) — деяка функція від часу.

Продиференціюємо (2), отримаємо
image

У ліву частину виразу (3) підставимо праву частину третього рівняння системи (1), а в праву частину (3) — праву частину першого рівняння системи (1), враховуючи, що image. Отримаємо
image

Замість z (4) підставимо вираз (2), звідки маємо рівняння
image
розв'язком якого є функція
image
де image — довільна постійна.

Тепер у друге рівняння системи (1) підставимо замість z вираз (2). При цьому виразимо y з першого рівняння системи (1). Отримаємо
image
і
image

Підставивши (5) і (6) в (7), маємо
image

Розглянемо неавтономний випадок, коли imageу рівнянні (8). Припустимо, що в цьому випадку рівняння (8) має періодичне рішення з періодом T. Так як похідна періодичної функції з періодом T є періодична функція з періодом T, то ліва частина рівняння (8) є періодичною функцією з періодом T. Однак права частина рівняння (8) непериодична, так як imageне є періодичною функцією. Отримали протиріччя.

Таким чином, при imageрівняння (8) не має періодичних рішень.

Розглянемо тепер випадок, коли image. Маємо автономне рівняння другого порядку
image
у якого за критерієм Бендиксона [1, с. 142-143] немає періодичних рішень, що і доводить їх відсутність в системі Лоренца при image.

Зауважимо, що в цьому випадку параметр r може приймати будь-які значення. Тоді при достатньо великих його значення у системі Лоренца також будуть відсутні періодичні рішення, що здається досить неочевидним, оскільки параметр r пропорційний різниці температур між нижнім і верхнім шаром рідини при вільній конвекції. При збільшенні градієнта температури в шарі повинні виникнути в рідині конвективні вали, а тут рідина з часом приходить в стаціонарний стан (ламінарний режим). Це підтверджується і в чисельному експерименті (спостерігалися стійкі фокуси при різних значеннях r — малюнок (проекція дуги траєкторії на площину xOy) на початку топіка). Швидше за все, це пояснюється тим, що система Лоренца досить грубо описує даний процес, хоча при інших співвідношеннях між imageі b (r приймає досить велике значення в системі (1) спостерігається стійкий граничний цикл [2, с. 291-294].

Незважаючи на всю простоту, на мій погляд, даний результат з точки зору теорії диференціальних рівнянь цікавий тим, що нелінійна система третього порядку допустила зниження порядку, що рідко буває, а теорія диференціальних рівнянь на площині досить добре опрацьована.

Розглянемо інший випадок, коли image. У відомій літературі мені він досліджується в лінійному наближенні. Застосуємо другий метод Ляпунова. Складемо функцію Ляпунова
image
володіє властивостями:
imageimage
imageimage
і
imageimageчинності правих частин рівнянь системи (1). Тоді по теоремі Барбашина-Красовського [3, с. 248-250] будь-яке рішення системи (1)
imageimage

Більш загальний випадок описаний у роботі [4] (лема 1.2), де підтверджується відсутність циклів в системі (1) (граничні режими — положення рівноваги) для
imageimage

Також відзначимо, що у системи (1) завжди є приватні рішення виду
image
де image — довільна постійна.

В даному топіку було розглянуто питання відсутності у системи (1) періодичних рішень. Однак аналітичні дослідження динаміки системи (1) на наявність циклів описані в літературі, але джерел не так багато, оскільки багато вивчають систему Лоренца чисельно. Далі наведено список літератури, де вдалося знайти суворе доказ існування граничного циклу у системі (1) при великих значеннях параметра r [2, 4-8]. У нього входить рукопис [4] Віктора Йосиповича Юдовича (невидана раніше в наукових журналах), де докладно висвітлене це питання.

Література
1. Немыцкий Ст. Ст., Степанов Ст. Ст. Якісна теорія диференціальних рівнянь. — М.: Едиториал УРСС, 2004.
2. Неймарк Ю. І., Ланда П. С. Стохастичні і хаотичні коливання. — М: ЛИБРОКОМ, 2009.
3. Демидович Б. П. Лекції з математичної теорії стійкості. — М: Наука, 1967.
4. Юдович в. І. Асимптотика граничних циклів системи Лоренца при великих числах Релея // Рукопис деп. у ВІНІТІ, №2611-78. 1978.
5. Robbins K. A. Periodic Solutions and Bifurcation Structure at High R in the Lorenz Model // SIAM Journal on Applied Mathematics, 36(3): 457-472, 1979.
6. Shimizu T. Analytic Form of the Simplest Limit in the Cycle Lorenz Model // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 97(2): 383-398, 1979. DOI: 10.1016/0378-4371(79)90113-4.
7. Покровський Л. А. Рішення системи рівнянь Лоренца в асимптотическом межі великого числа Релея. I. Система Лоренца в найпростішої квантової моделі лазера і додаток до неї методу усереднення // Теоретична і математична фізика, 62(2): 272-290, 1985.
8. Jibin Li, Jianming Zhang. New Treatment on Біфуркації of Periodic Solutions and Homoclinic Orbits at High r in the Lorenz Equations // SIAM Journal on Applied Mathematics, 53(4): 1059-1071, 1993.

Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.