Правильні многогранники. Частина 2. Четырехмерие

Вступ
Бачу, що на Хабре серйозні люди зібралися. Статтю про трехмерие на рахунок «раз» розібрали. Однак просторами постійної кривизни нікого не здивуєш у наш час. Проте завжди знаходяться охочі зазирнути вище, в четырехмерие. Ну що ж, саме з такими допитливими колегами ми продовжуємо розмову і переходимо на наступний рівень по розмірності.

Моє завдання не просто розповісти про розбиття простору постійної кривизни будь-якої розмірності на правильні многогранники, а зробити це так, щоб матеріал зрозуміли навіть вчорашні школярі, які закінчили 11 класів. Я люблю статті на Хабре саме за їх дохідливість, зрозумілість, простоту, не дивлячись на складність матеріалу, і в такій же якості намагаюся подавати відомості у публікаціях. У ВУЗах і у вітчизняних публікаціях пропонований матеріал можливо розглядається, але, як мені здається, не в такому вигляді. Думаю, що інформація буде корисною і для студентів. В іноземній літературі даний матеріал є, відповідно не російською мовою, в сильно стислому вигляді і з використанням вищої математики. Тут я разжевываю» для школярів, без вищої математики, фактично на одній геометричної інтуїції. Ми побачимо в наступній статті, як буде зроблений перехід від 4D до 5D з допомогою геометрії, наочно, без вищої алгебри. Це буде найскладніший крок, але хто його зрозуміє, той зрозуміє і всі інші розмірності від 6 і вище. Не впевнений, що мені вдалося все грунтовно «розжувати», тому, якщо будуть додаткові питання — задавайте, це допоможе мені поліпшити статтю.

В даній публікації ідея викладок повністю та ж, що і в попередній статті, тільки на одну розмірність вище , так що, якщо хтось ще не встиг ній ознайомитися, бажано це зробити, щоб розуміти, що відбувається.

Спочатку ще раз дамо всі визначення, тільки вже для 4-вимірних многогранників і відповідного символу Шлефли. Не хочеться відразу давати загальні формулювання, щоб не заплутати не підготовлених читачів, які з даним предметом, можливо, мають справу вперше. Потім дамо постановку задачі. В даній публікації, схоже, що вона прийняла більш строгий і стрункий вид. Якщо помилюся в якихось деталях, то нічого страшного, адже це не паперова публікація, подредактирую і виправлю, щоб все було красиво. Основні викладки і результат правильні, за це не переживайте, потім навіть посилання на авторитетних авторів дам, якщо що. Заглянувши до цим авторам ви зрозумієте, що моя праця, у вигляді цих кількох публікацій, не марна.

Визначення. Аксіоми. Постановка завдання
В многогранники багато різних кутів, двугранным кутом ми називаємо двогранний суміжний кут між суміжними гранями, тобто гранями мають спільне ребро.

Визначення правильного багатогранника даю рекурентное і своїми словами, адже Хабр — не місце для копипастеров.
Правильним 4-мірним многогранником називається опуклий многогранник, у якого всі 3-мірні грані є правильними многограниками, рівними між собою і всі кути між 3-вимірними гранями рівні між собою.

Є твердження, що розбиття (n-1)-вимірної сфери взаємно однозначно відповідає правильний n-мірний багатогранник, при n>1. Тобто розмірність багатогранника на одну вище, ніж розмірність сфери, яку розбиваємо. Наприклад, якщо вершини розбиття 3-вимірної сфери з'єднати ребрами, відповідають дугам розбиття, то вийде 4-мірний багатогранник. Не знаю як це твердження доводиться і доводиться взагалі. Тому воно приймається за аксіому і вважаємо його вірним у всіх розмірностях просторів. Для двовимірної сфери на прикладі ікосаедра це було показано у відео ролику у попередній публікації. Можна сказати, що в трехмерии (тобто для розбиття двовимірної сфери) цей факт встановлено експериментально, а в четырехмерии і вище, вважаємо, що все аналогічно. Начебто тут все чисто, інтуїтивно зрозуміло, що так воно і є.

Визначення символу Шлефли теж даю своїми словами.
Символом Шлефли називається послідовність чисел {p1, p2, p3} задає алгоритм побудови правильного багатогранника наступним чином:
— взяти правильні {p1} косинці, об'єднати їх по ребрах, так, щоб в кожній вершині зійшлося по p2 штук таких {p1}, отримаємо {{p1}, p2}, або коротко {p1, p2}
— взяти, отримані на попередньому кроці, {p1, p2} і об'єднати їх з плоским гранях так, щоб в кожному ребрі зійшлося p3 штук таких {p1, p2} тривимірних багатогранника.
Вже напрошується індукція у визначенні, чи не правда? Загальне визначення, для n-вимірного правильного багатогранника дам в наступній публікації. Поки краще розглянути окремий випадок, щоб простіше було зрозуміти і не відволікатися на загальні формулювання.

І ще одна думка (постановка завдання), яка виражена в грубій формі, в лоб, виявляється не вірна, але вона не використовується при викладках, тому ніяк не впливає на результат, але за то вона є рушійною силою досліджень :) Думка полягає в тому, що для будь-якого символу Шлефли в будь розмірності Існує правильний багатогранник, який розбиває один із просторів постійної кривизни відповідної розмірності. Ми бачили, що при розбитті двовимірних просторів ця думка вірна, там будь-який символ Шлефли що-небудь та розбивав. Слово «Існує» виділено великою літерою, так як насправді це не вірно для розмірностей 4 і вище. Допускати існування завжди — це звичайно вольності, але можна сформулювати постановку задачі таким чином, що ця думка виявиться законною, а саме:
кількість різних значень символу Шлефли рахункове безліч, розбити цю множину на підмножини, які не перетинаються (класи) кінцеві або нескінченні за типами:
— клас символів задають розбиття Сферичного простору на правильні многогранники відповідної розмірності;
— ---//--- розбиття Евклідового простору ---//---
— ---//--- розбиття простору Лобачевского на правильні многогранники Кінцевого об'єму ---//---
— ---//--- розбиття простору Лобачевского на правильні граничні многогранники кінцевого об'єму ---//--- (такі, у яких вершини потрапляють прямо на абсолют — кордон диска Пуанкаре)
— ---//--- розбиття простору Лобачевского на правильні многогранники нескінченного обсягу ---//--- (якщо виходять фігури умовно вважати правильними многогранниками)
— клас «поганих» символів, яким неможливо поставити у відповідність якийсь багатогранник або якесь розбиття простору постійної кривизни.
При перерахуванні цих класів ми забігли трохи вперед, і в розбиття простору Лобачевського, вище, виділили три підмножини (класи), замість одного, як для Сфери і Евкліда.
Іншими словами, наше завдання полягає в дослідженні всіх можливих значень символу Шлефли у всіх розмірностях, в усіх трьох просторах постійної кривизни. Це мотивація, мета і завдання. В даній публікації розмірність разбиваемых простору постійної кривизни = 3, розмірність одержуваних при цьому многогранників = 4.

Задум рішення задачі
Сама ідея рішення проста, як і в попередній статті про трехмерии, потрібно з одного боку за параметрами символу Шлефли {p1, p2} обчислити двогранний кут () багатогранника і порівняти цей кут з тобто щоб повний оборот () вміщував ціле число многогранників, зійшлися в ребрі. Тут p3 — третій параметр символу Шлефли {p1, p2, p3}, що задає розбиття 4-вимірного простору на многогранники {p1, p2}, що означає кількість многогранників {p1, p2}, зійшлися в ребрі.
1. Якщо виявиться, що = то значить викривляти простір не треба, все і так зійшлося красиво, тобто це Евклідова простору. Як бачите, двійка напрошується скоротитися, тому в розрахунках фігурує не сам двогранний кут багатогранника а його половина =
2. Якщо виявиться, що < тобто двогранний кут маленький, то багатогранник, разом з його кутами, потрібно «роздути», щоб кути збільшилися до потрібних значень, значить потрібно помістити його на тривимірну сферу, тобто це сферичний випадок.
3. Якщо виявиться, що > тобто двогранний кут великий, то багатогранник, разом з його кутами, потрібно «здути», щоб кути зменшилися до потрібних значень, значить потрібно помістити його в тривимірний простір Лобачевського, тобто це гіперболічний випадок.
Про те, що значить «роздути» і «здути» багатогранник (багатокутник) було розказано в попередній статті, де ми бачили, що сума кутів трикутника (многокутника) збільшується, коли поміщаємо його на сферу, трикутник як би роздувається і, що сума кутів трикутника зменшується, коли поміщаємо його в гиперболическое простір, трикутник як би здувається. Там ми це бачили в двумерии, все аналогічно відбувається з кутами в 3-мірних просторах і просторах вищих розмірностей.

Однак якщо кути правильних багатокутників ми знаємо напам'ять, то двогранні кути тривимірних правильних многогранників вже запам'ятати напам'ять складніше, хоча, звичайно, всі ці кути відомі. Ми побачимо в наступній публікації, коли будемо забиратися в пятимерное простір, що виведення формули двогранного кута багатогранника стає не тривіальної завданням і сама формула виходить на перший план. Можна було б навіть назвати статтю: формула двогранного кута правильного, опуклого багатогранника в n-мірному Евклідовому просторі. Але насправді ця формула є не тільки метою пропонованих публікацій, але й засобом, що допомагає виявляти многогранники в просторах вищих розмірностей. Тобто всі питання тут тісно пов'язані і цікаві кожен з них окремо і всі разом узяті, тому вибрати лаконічну назву для цих статей дійсно проблематично.

Тепер залишається тільки зробити розрахунки для обчислення двогранного кута за параметрами символу Шлефли {p1, p2}, а порівняти отримані значення з і виписати відповідь, у вигляді таблиці, і школяр зможе. Втім, обчислити двогранний кут за параметрами p1, p2 теж виявляється не складно. От у наступній розмірності, там складніше, там вже з'являється родзинка :) але про це в наступній публікації.

Обчислення двогранного кута у правильного багатогранника {p1, p2}
Прошу вибачення, у попередній статті забув про допоміжні кути сказати, які нам знадобляться для розрахунків. Це кути . Хто уважно читав попередню статтю, той помітив, що там на кресленні кут був визначений, обчислений і вийшов . Там ми вимірювали кут правильного многокутника у вершині C. Тепер взявши цю вершину і дві сусідні з нею вершини отримаємо рівнобедрений трикутник, ось — це кут при основі трикутника, він тепер нам знадобиться. Також для 3-хмерного багатогранника нам знадобиться кут — це кут при основі рівнобедреного трикутника, у правильного багатокутника {p2}, що лежить в основі равнобедренной піраміди. Піраміда виходить відсіканням у {p1, p2} одного, що вивчається вершини, по площині прилеглих вершин. Зверніть увагу на простий, але важливий факт, що оскільки у вершині піраміди сходиться p2 штук правильних p1-косинців, то в основі цієї піраміди виходить правильний p2-кутник. Цим ми і користуємося, для обчислення кута

На малюнку розглянуто приклад з икосаэдром, тут у загальному випадку для довільного {p1, p2}, отримаємо . Поки що ми перебуваємо в Евклідовому просторі, тому сума кутів трикутника раніше дорівнює .
Тепер розглянемо цю равнобедренную пірамідку ближче. Для обчислення двогранного кута досить розглянути не всю цю піраміду, а тільки одне ребро і дві грані, що містять це ребро.

В загальному випадку для {p1, p2} розглянемо ребро і знайдемо це і є половина шуканого нами кута, тобто половина двогранного кута багатогранника {p1, p2}. Дам пояснення про додаткові побудовах: — висоти у відповідних рівнобедрених трикутниках. Площина рівнобедреного трикутника — ортогональна ребру з побудови, тому плоский кут цього трикутника дорівнює за величиною шуканого двугранному куті правильного багатогранника {p1, p2}. Не складні розрахунки записані лівіше креслення, уважно прочитайте їх, будь ласка. Якщо ви знаєте визначення синуса і косинуса, труднощів не повинно виникнути. Отже:

Можна, звичайно, обчислити цей кут через фундаментальний тетраедр (з вершинами у центрі 3D-межі, центрі 2D-межі, середині ребра і вершини багатогранника), так класики і роблять, але тоді перехід з розмірностями стає скрутним, у всякому разі школярам таке навряд чи вдасться роз'яснити. Тому запропонований у цій публікації підхід до обчислення двогранного кута, обраний свідомо. Щонайменше, це ще один спосіб, для обчислення цього кута. Кому-то зрозуміліше один спосіб, кому-то інший.

Обчислення і порівняння кутів
Як і говорили, порівнюємо кут і записуємо результати порівняння у вигляді таблиці. Порівняння зручніше виконувати не для самих кутів, а для синусів у квадраті цих кутів, щоб не захаращувати запису арксинусами, зважаючи на те, що така вийшла формула для бетта.
Суть порівняння у вигляді формули:

де X^3 — загальне позначення простору постійної кривизни, S^3 — тривимірна сфера, E^3 — Евклідова тривимірне простір, Λ^3 — тривимірний простір Лобачевського.
Результат порівняння у вигляді таблиці:

Де:

Ще раз невеликі пояснення — порівнюються другий стовпець, для і третій рядок, для . Наприклад:
1. стовпець {4,3} порівнюється з рядком p3=4, отримуємо 0.5 = 0.5 — значить {4,3,4} — розбиває Евклідова 3-мірний простір, це звичні куби, сходяться на 4 ребрі. :) Елементарно.
2. Для стовпця {3,3} і рядка p3=3 маємо 0.5<0.75 — значить {3,3,3} — розбиває 3-мірну сферу (і йому відповідає 4-мірний багатогранник).
3. Для стовпця {5,3} і рядка p3=6 маємо 0.723>0.25 — значить {5,3,6} — розбиває 3-мірний простір Лобачевського на правильний, граничний багатогранник. Граничний можна зрозуміти з того, що у нього вершинна фігура {p2,p3} = {3,6} — розбиває двовимірне простір Евкліда, тобто площину Евкліда.
У загальному випадку якщо {p1, p2, p3} — розбиває простір Лобачевського, то далі роль відіграє вершинна фігура:
— якщо {p2, p3} — розбиває Евкліда, то {p1, p2, p3} — граничний багатогранник,
— якщо {p2, p3} — розбиває сферу, то {p1, p2, p3} — має кінцевий об'єм і розміри,
— якщо {p2, p3} — розбиває площину Лобачевського, то {p1,p2,p3} — має нескінченний обсяг.
Це твердження без доведення, думаю, що воно вірне і знаю чому, але строго і по простому довести і показати не можу. Там включається орисфера, на поверхні якої Евклідова геометрія. А вершинна фігура, як раз відсікає орисферу для граничного багатогранника.

Підбиття підсумків
Отже, ми навчилися обчислювати двогранний кут правильного багатогранника за його символу Шлефли {p1, p2}, на всякий випадок випишу ще раз:

І знайшли 6-ть розбиття тривимірної сфери на правильні тривимірні многогранники:
{3,3,3} — тетраедри, сошедшиеся на 3 ребрі,
{4,3,3} — куби, сошедшиеся на 3 ребрі,
{3,3,4} — тетраедри, сошедшиеся по 4 ребрі,
{3,4,3} — октаэдры, сошедшиеся на 3 ребрі,
{5,3,3} — додекаэдры, сошедшиеся на 3 ребрі,
{3,3,5} — тетраедри, сошедшиеся по 5 в ребрі.
А значить і 6-ть відповідних правильних 4-вимірних багатогранника з тими ж символами Шлефли. Правда порахувати в загальному вигляді кількість вершин, ребер, граней і гиперграней цих багатогранників не так просто, як здається на перший погляд. В окремих випадках для 4-тетраедра, 4-куба, 4-октаедра (ортаэдра) це можна зробити по індукції, але для інших многогранників цей трюк не спрацьовує.
На жаль у мене немає своїх картинок цих багатогранників, тому відсилаю до вікіпедії, там для четырехмерия дані красиві картинки.
Так само, як коли ми дивимося на зошит у клітинку (розбиття {4, 4}) то бачимо структуру, як би сама площина Евкліда має структуру {4, 4}, ми вже знаємо, що є ще лише дві структури цій же площині {3, 6} і {6, 3}. Тепер ми дізналися, що розбиття 3-мірного Евклідова простору єдино {4, 3, 4} — на куби, сходяться по 4 штуки в ребрі. Ми представляємо подумки це розбиття і відчуваємо структуру цього простору. Тепер уявімо подумки {5 ,3} — додекаэдры, докладемо їх між собою по плоских гранях (пятиугольникам), в ребрі зійдеться 3 таких додекаедр і ще залишиться зазор. Тепер подумки рівномірно раздуем ці додекаэдры до тих пір, поки зазор не зникне. Коли він зникне, то в ребрі зійдуться рівно 3 додекаедр. Тепер подумки складемо по три додекаедр в кожному ребрі. У всіх ребрах одночасно це представити вже складніше, але потрібно. Якщо взяти 120 таких роздутих додекаэдров і прикласти їх усі без зазорів між собою по гранях, то отримаємо замкнутий розбиття 3-вимірної сфери. Так само можна уявляти з іншими 5-ма разбиениями 3-вимірної сфери. Такі розважливі експерименти з многогранниками допомагають подумки зрозуміти структуру 3-вимірної сфери і доторкнутися до 4-мірного простору Евкліда. Аналогічно можна поміркувати з гіперболічним 3-мірним простором. Наведені в публікації викладки допомагають зрозуміти в якому просторі ми знаходимося, для заданого символу Шлефли, тобто для заданого мисленого побудови.

У наступній публікації ми зробимо все теж саме, тільки на одну розмірність вище. Думаю, що дам там відео ролик пояснює основну ідею переходу (підйому) за величинами. Якщо хтось ще не зрозумів, що відбувається, то можливо цей ролик проллє світло на всі виконані викладки тут і в попередній статті.
Якщо все зрозуміло, то переходите на наступний рівень по розмірності.

Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.