Спадщину Якоба Бернуллі Wolfram Language (Mathematica)


Переклад посади Олександра Павліка (Oleksandr Pavlyk), «Jacob Bernoulli's Legacy in Mathematica».
Скачати переклад у вигляді документа Mathematica, який містить весь код використаний у статті, а також додаткові матеріали, можна тут.


16 січня 2015 р. виповнилося 360 років від дня народження Якоба Бернуллі.

In[1]:=

jacob-bernoulli-legacy_1.gif

Out[2]=

jacob-bernoulli-legacy_2.jpeg

In[3]:=

jacob-bernoulli-legacy_3.jpeg

Out[3]=

jacob-bernoulli-legacy_4.jpeg

In[4]:=

jacob-bernoulli-legacy_5.jpeg

Out[4]=

jacob-bernoulli-legacy_6.jpeg

Якоб Бернуллі став першим математиком відомої родини Бернуллі, до якої належать багато відомі математики XVII і XVIII століть.

Математичне спадщина Якоба Бернуллі дуже багато. Він запровадив так звані числа Бернуллі Wiki / MathWorld), знайшов рішення диференціального рівняння Бернуллі (Wiki / MathWorld), вивчав процес Бернуллі (Wiki / MathWorld), довів нерівність Бернуллі (Wiki / MathWorld), обчислив число e (Wiki / MathWorld), а також виявив слабкий закон великих чисел (теорема Бернуллі) (Wiki / MathWorld).

In[5]:=

jacob-bernoulli-legacy_7.jpeg

Out[5]=

jacob-bernoulli-legacy_8.jpeg

Трактат Бернуллі Ars Conjectandi (The Art of Conjecturing — Исскусство припущення) був опублікований посмертно в 1713 р., через 8 років після його смерті, він був написаний на латині, лінгва франка свого часу. Вона розглядається як основна робота з теорії ймовірностей. Про її важливість свідчить, зокрема, те, що вона була переведена на французький G. Le Roy в 1801 р. і, нещодавно, на англійська E. D. Sylla в 2005 р.

Ars Conjectandi складається з 4 частин. Перша частина відтворює роботу Християна Гюйгенса De Ratiociniis in Ludo Aleae. (On Reasoning in Games of Chance — Про розрахунки в азартній грі) з обширними коментарями від Бернуллі і докладними рішеннями п'яти проблем Гюйгенса, поставлених в кінці роботи Гюйгенса із зазначенням відповідей, але без доказів. У першій частині Бернуллі відображає ймовірність того, що серед n незалежних випробувань буде принаймні m успішних, якщо ймовірність успіху в кожному випробуванні дорівнює p:

jacob-bernoulli-legacy_9.jpeg

Друга частина «The Doctrine of Перестановок and Combinations» (Вчення про перестановки і комбінаціях) присвячена комбінаториці і вивчення фігурних чисел (Wiki / MathWorld), тобто чисел, які можуть бути представлені у вигляді набору точок, розташованих на площині у формі правильних геометричних фігур:

jacob-bernoulli-legacy_10.jpeg

Саме в цій частині Бернуллі запровадив так звані числа Бернуллі. Він почав з того, що виявив співвідношення для біноміальних коефіцієнтів jacob-bernoulli-legacy_11.jpeg, яке має вигляд:

jacob-bernoulli-legacy_12.jpeg.

In[6]:=

jacob-bernoulli-legacy_13.jpeg

Out[6]=

jacob-bernoulli-legacy_14.jpeg

Бернуллі знав, що для фіксованого значення числа m, біноміальний коефіцієнт jacob-bernoulli-legacy_15.jpegпредставляє собою поліном від змінної n, а саме jacob-bernoulli-legacy_16.jpeg. Це тотожність дозволило йому вивести значення сум степенів натуральних чисел jacob-bernoulli-legacy_17.jpeg. Він отримав таблицю результатів для 0≤m≤10.

Для того, щоб відтворити таблицю, отриману Бернуллі, створимо функцію, задає рівняння для сум степенів натуральних чисел:

In[7]:=

jacob-bernoulli-legacy_18.jpeg

In[8]:=

jacob-bernoulli-legacy_19.jpeg

Out[8]=

jacob-bernoulli-legacy_20.jpeg

In[9]:=

jacob-bernoulli-legacy_21.jpeg

Out[9]=

jacob-bernoulli-legacy_22.jpeg

In[10]:=

jacob-bernoulli-legacy_23.jpeg

Out[10]=

jacob-bernoulli-legacy_24.jpeg

Вирішуючи отриману систему рівнянь, отримаємо:

In[11]:=

jacob-bernoulli-legacy_25.jpeg

Out[11]=

jacob-bernoulli-legacy_26.jpeg

Бернуллі писав, що «Той, хто уважно вивчив отриману послідовність, може продовжити Таблицю далі без будь-яких додаткових обчислень», зауваживши, що:

jacob-bernoulli-legacy_27.jpeg

Він зазначив, що коефіцієнти jacob-bernoulli-legacy_28.jpegне залежать від n і можуть бути обчислені рекурсивно, якщо підставити n==1 в рівняння вище.

In[12]:=

jacob-bernoulli-legacy_29.jpeg

Out[12]=

jacob-bernoulli-legacy_30.jpeg

Ці коефіцієнти і є відомі числа Бернуллі, які знайшли своє застосування в безлічі областей математики [наприклад, див обговорення Why do Bernoulli numbers arise everywhere? (Чому числа Бернуллі з'являються всюди?) на сайті mathoverflow.net]:

In[13]:=

jacob-bernoulli-legacy_31.jpeg

Out[13]=

jacob-bernoulli-legacy_32.jpeg

У другій частині своєї книги Бернуллі обчислює кількість можливих перестановок, число перестановок у множині з повторюваними елементами, число способів вибору заданих об'єктів з множини і т. д., які він пізніше застосовує для обчислення ймовірності, як відношення кількості сприятливих подій до загальної можливого числа подій.

У третій частині Бернуллі застосовує результати, отримані в попередніх двох частинах до рішення 24-х проблем, пов'язаних з азартними іграми. Лейтмотивом всіх цих завдань є послідовність незалежних результатів 0 і 1, яка отримала назву «процесу Бернуллі». Думаю, що 360-річчя з дня народження Якоба Бернуллі є чудовим приводом для того, щоб вирішити його завдання Mathematica з допомогою Wolfram Language.

Наприклад, у задачі 9 потрібно знайти очікуваний виграш у грі трьох гравців. Гравці по черзі беруть картки (без заміни і повернення) з колоди в 20 карт, при цьому 10 з них фігурні. Коли закінчуються карти, виграш розподіляється порівну серед тих гравців, у яких фігурних карт виявилося більше.

Покладемо, що c1, c2, c3 — число фігурних карт у кожного гравця, тоді частка виграшу першого гравця буде дорівнює:

In[14]:=

jacob-bernoulli-legacy_33.jpeg

Предположи, що після того, як колода з 20 карток була таким чином розподілена між гравцями, вийшло так, що перший і другий мають по 7 карт, а третій — 6. Підсумковий вектор розподілу фігурних карт між гравцями має багатовимірне гіпергеометричний розподіл, що задається в мові Wolfram Language функцією MultivariateHypergeometricDistribution:

In[15]:=

jacob-bernoulli-legacy_34.jpeg

In[16]:=

jacob-bernoulli-legacy_35.jpeg

Out[16]=

jacob-bernoulli-legacy_36.jpeg

In[17]:=

jacob-bernoulli-legacy_37.jpeg

Out[17]=

jacob-bernoulli-legacy_38.jpeg

Ця та інші завдання розглянуті і вирішені доданому документі (англ. мовою).

У заключній частині трактату Ars Conjectandi обговорюється використання теорії ймовірностей у вирішенні цивільних, моральних та економічних питань. У цій частині Бернуллі стверджує, що теорія ймовірностей відображає наше неповне знання про стан світу, і, на відміну азартної гри, де ймовірність може бути визначена шляхом знаходження відношення числа сприятливих результатів деякого досвіду до їх загальної можливого числа, ймовірність в «реальному» житті не може бути апріорі встановлена. Бернуллі стверджує, що ці невідомі ймовірності можуть бути обчислені на основі результатів, що спостерігалися в минулому.

Він довів слабкий закон великих чисел, який твердить, що спостережувана частота успіхів у серії з n незалежних випробувань, ймовірність успіху в кожному з яких дорівнює p, буде необмежено наближатися до p з необмеженим збільшенням кількості випробувань. Таким чином, ми можемо оцінити ймовірність з довільною точністю, взявши достатню кількість випробувань. Таким чином, для будь-яких δ та ε, знайдеться таке число n (кількість випробувань), що

jacob-bernoulli-legacy_39.jpeg

In[18]:=

jacob-bernoulli-legacy_40.jpeg

Out[18]=

jacob-bernoulli-legacy_41.jpeg

Демонстрація “Імітація експерименту з підкидання монети і закон великих чисел" Simulated Coin Tossing Experiments and the Law of Large Numbers), створена Яном Маклеодом (Ian McLeod) для сайту Wolfram Demonstrations Project, зокрема, демонструє цей процес збіжності.

Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.