Про діагоналі квадрата

Введення в обіг комплексних чисел була далеко не першою революцією в розумінні людиною природи числа. За дві тисячі років до цього найпотужніше потрясіння пережив світ давньогрецької математики.

Неприємності у піфагорійців почалися далеко не відразу. Заснована Піфагором наукова школа в результаті кінчила погано, але сьогоднішня розповідь не про те бадьорому погромі, який був учинений над піфагорійцями вдячним за просвіта народом, а більшою мірою про духовних перипетії.


Термін «наукова школа» по відношенню до організації, заснованою Піфагором, є таким собі евфемізмом. Здраво глянувши на її структуру і вживані технології, піфагореїзм слід сміливо віднести до тоталітарних культів, що було цілком у дусі часу (втім, це завжди в дусі часу, вічна класика). Була наявна і поділ на ступені посвячення, і складна система ритуалів з заборонами (наприклад, загальновідомі, на кшталт «не є бобів» або «не відкушувати від цілої булки»), і складне філософське віровчення. Привіт Рону Хаббарду з товаришами. Ніщо не ново під Місяцем.

В цілому, за життя Піфагора його «школа» була солідним підприємством, до того ж володіє значним і весь час зростаючим політичним впливом.

Взагалі, філософія Піфагора справила значний вплив на західну культуру (і ми в тому числі). Багато ідеї знайшли свій розвиток у класичної грецької філософії, а вже про теорему Піфагора знають взагалі все. Вираз «гармонія сфер», до речі, також сходить до піфагорійців.

Одним з істотних елементів їх філософії була ідея, що будь-яке число можна представити як відношення двох цілих чисел, тобто у вигляді простого дробу. В цьому вони, в тому числі, бачили досконалість природи числа. Більше того, це уявлялося цілком очевидним. У сучасній математиці такі числа називаються раціональними, а їх безліч позначається знаком . Зробіть тепер паузу на кілька секунд, задумайтеся, звідки взагалі слід, що це не так? Чи Можете ви навести аргумент, який би був достатньо переконливим для стародавнього грека? Ну або, хоча б, досить переконливий для себе особисто?

Загалом, світ чисел був простий, витончений, і всі були задоволені. Джерелом виникли неприємностей, несподівано стала вже згадана теорема носить ім'я Піфагора: одне з найважливіших, що дійшли до нас, його досягнень. На жаль, доказ самого Піфагора нам невідомо. Найдавніший з дійшли до нас — наведено в «Началах» Евкліда і датується 3 ст. д. н. е. Нагадаю, сам Піфагор жив у 6 ст. д. н. е…

Фрагмент з Vatican Manuscript Number 190, датованого 10 ст. н. е. (цілком тут):


Доказ Евкліда далеко не саме просте. Є підстави вважати, що він знав шлях і простіше, але з методичних міркувань привів саме цей варіант, демонструє, крім власне теореми Піфагора, і деякі інші цікаві ідеї.

Однак, повернемося до піфагорійців.

От уявіть собі просту річ: квадрат зі сторонами одиничної довжини. Якщо позначити довжину його діагоналі , то за теоремою Піфагора отримаємо:

і, відповідно:

Саме по собі це ще не проблема. З точки зору піфагорійців, далі просто потрібно було знайти цілі числа , такі що

Ось на цьому-то «простому» моменті і все застопорилося. Причому наглухо. Стопор цього тривав до тих пір, поки один розумник (як стверджують, Гіппас з Метапонта, теж піфагорієць), не довів, раптово, що таких чисел не існує. Все зло від шибко розумних йде, як відомо. За легендою, це наукове досягнення настільки вразило колег, що, в ознаменування визнання наукових заслуг, Гиппаса не зволікаючи викинули за борт корабля, на якому він у момент свого математичного осяяння плив. А от нічого було гадити шановним людям, підривати основи настільки любовно виплекану і вельми прибуткової філософської системи.

Нині, числа не представимые у вигляді відношення двох цілих, називаються ірраціональними.

Деякий час піфагорійці навіть тримали факт ірраціональності в секреті. Однак, шила в мішку не сховаєш, і правда досить швидко (за історичними мірками) знайшла шлях назовні.

Довести ірраціональність зовсім не складно.
Нехай існують такі , що

Більше того, будемо вважати, що хоча б одне з чисел — непарна. Якщо це не так, чисельник і знаменник дробу завжди можна скоротити на 2 (потрібну кількість разів).
Тоді отримаємо:

звідси:

Таким чином, — парне число. Але тоді і — парне.

За умовою непарності хоча б одного з чисел , отримаємо, що — непарна.
В силу парності , можна записати
,
де — деяке ціле.
Але тоді:

звідси

Але це означає, що — парно, а значить, щиро і . Протиріччя.

Число не представити у вигляді відношення двох цілих чисел.

Залишається додати, що — це зовсім не якийсь дивний виродок. Можна показати, що ірраціональних чисел більше, ніж раціональних, принципово більше. До речі, ставлення більше-менше в світі нескінченних множин само буває досить контритуитивным. Але це вже інша історія.

PS. Користуючись нагодою, вітаю хабровчан з наступаючими. Удачі в новому році!

Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.