Імовірнісний закон розподілу тривалості сеансу штучного супутника Землі з наземним об'єктом

     ЧАСТИНА I . Попередні відомості про систему і моделі.

      Проектування і розрахунок балістичних характеристик супутникових систем різного цільового призначення, моделювання процесів руху і функціонування передбачають попередню оцінку можливостей досягнення запланованих цільових ефектів такими системами. Цільове призначення зводиться в даний час до інформаційного обслуговування в самому широкому сенсі цільових об'єктів (ЦО) бортовою апаратурою штучного супутника Землі (ШСЗ). Там де мають місце потоки інформації, завжди виникають проблеми, пов'язані з її захистом і забезпеченням інформаційної безпеки, з усіма витікаючими звідси наслідками.
     Тривале автономне функціонування призводить до зміни проектних значень балістичних характеристик, насамперед, структури супутникових систем. В свою чергу це вимагає періодичного проведення корекції значень частині характеристик системи. При цьому виникає необхідність попереднього розрахунку, що можливо при наявності виміряних значень параметрів руху, як окремих супутників систем, так і системи в цілому. Такі вимірювання можливі при наявності мережі наземних вимірювальних пунктів (ІП) стаціонарних або рухомих (сухопутних, морських, повітряних), обладнаних відповідною вимірювальною апаратурою і командними радиосредствами. Тут розглядається імовірнісний підхід до оцінювання та розрахунку потенційних можливостей супутникових систем впливати на інформаційне забезпечення в глобальному, планетарному масштабі з позицій балістичного побудови орбітальної частини і розміщення об'єктів, насамперед вимірювальних пунктів, наземної частини. Питання інформаційної безпеки не розглядаються.
     З кожним ІП і ЦО зв'язується область простору (миттєва зона обслуговування (МОЗ)), при попаданні в яку ШСЗ, він може бути обслужений або сам виконати обслуговування ЦО. Процес обслуговування включає крім безпосередніх вимірювань балістичних і телеметричних характеристик, прийом і передачу цільової інформації, зв'язок з ШСЗ, передачу на борт програми корекції, закладку робочої програми (РП) функціонування бортової спеціальної апаратури (БСпА), з урахуванням оновлених параметрів руху та інші операції.
     Апріорі процес отримання необхідних оцінок реалізувати детерміновано неможливо, так як дія різноманітних природних і техногенних факторів призводить до збурень параметрів. Збурень, перш за все, схильні параметри руху ШСЗ і, як наслідок, характеристики процесів функціонування БСпА. Звідси виникає потреба у вивченні названих явищ як випадкових, встановлення ймовірнісних законів розподілу випадкових подій, величин, функцій випадкових аргументів і випадкових функцій (полів).
     У пропонованій увазі читачів роботі в рамках моделі спільного руху і функціонування орбітальної і наземної частин системи розглядається взаємодія пари об'єктів ШСЗ — ІП. При цьому модель включає всі основні фактори, що формують процес функціонування і породжують випадковість настання важливих системних подій. З безлічі системних подій виділяються події взаємодії ШСЗ з наземними ІП та цільовими об'єктами.
     До числа найважливіших факторів, що враховуються математичної моделі руху системи, відносяться:
— обертання планети навколо своєї осі (постійна кутова швидкість);
— географічне положення наземного об'єкта (координати, радіус МОЗ);
— обмеженість часу сеансу взаємодії (час перебування об'єкта в МОЗ);
— балістичні характеристики ШСЗ (висота польоту Н, нахилення площини орбіти).
      математичної моделі використовуються (вводяться) спрощують припущення і припущення:
— планета має сферичну форму з радіусом сфери R, гравітаційне поле тяжіння центральне;
— вплив атмосфери на рух орбітальних об'єктів не враховується;
— орбіти руху ШСЗ — кругові, прецесія площин орбіт руху не враховується;
— траси руху ШСЗ моделюються великими колами сфери;
— обслуговування МОЗ — конус з вершиною в центрі об'єкта, лінія перетину, яких зі сферою радіуса R+Н проектується на поверхню сфери планети плоскої колом.
     В основу моделі взаємодії ШСЗ — ІП покладена геометрична модель елементів системи та кінематичні співвідношення їх переміщення. У тривимірному просторі площини П орбіт кожного ШСЗ системи нерухомі, їх лінії перетину із сферою планети — траси. МОЗ наземного об'єкта (проекція на планету лінії перетину конуса зі сферою радіусом R+H) обмежується сегментом сферичної поверхні, отсекаемым площиною К. Кордон МОЗ — окружність L малого кола, «намальована» на поверхні Землі і рухається разом з Землею. Вона періодично перетинається з орбітальної П площиною ШСЗ, тобто сегмент МОЗ перетинається трасою, яка також «малюється» на поверхні Землі для кожного витка ШСЗ заново. На деяких витках траса перетинає сегмент, а на деяких проходить, минаючи його. Частина траси на витку, що перетинало сегмент, від точки входу в сегмент до точки виходу лежить всередині сегмента. Справа в тому, що проходження траси одного витка супутником займає час у 15-16 разів менше тривалості доби, тобто≈ 1,5 години. Якщо траса перетинає сегмент, то час τ перебування ШСЗ в МОЗ пропорційно довжині t хорди кола L, τ = t /2πR.
     Дійсно, антена вимірювального засобу ІП, повертаючись, супроводжує рухомий ШСЗ від моменту його входу в зону, до моменту виходу з неї.

          Змістовна постановка завдання

     Завдання полягає в наступному. Визначити ймовірність того, що площина П орбіти ШСЗ буде розсікати сегмент МОЗ при випадковому її положенні відносно центру МОЗ.
Для визначеності моделі і міркувань зручності введемо дві координатні системи: декартову і сферичну (полярну), початок яких сумісний з центром сферичної планети. Положення на сфері будь-якої точки О1 в сферичній системі координат будемо визначати трьома координатами:
— довжиною радіуса-вектора R;
— довготою λ;
— полярним відстанню γо = π/2 — φо.
     Позитивні напрямки відліку координат показано на рис. 1.
Осі ох, оу декартової системи координат лежать в площині екватора планети, вісь ох співпадає з лінією його перетину з меридіаном Грінвіча, вісь оу повернена на λ=π/2 і проходить через меридіан східної довготою λ=π/2, вісь оz доповнює систему координат до правої системи. Формули переходу від сферичних координат до декартовым і назад мають вигляд:

           х = Rcosφоcosλо; y = Rcosφоsinλо; z = Rsinφо;

          R = [ х2 + y2 +z2]o.5; λо = arctg y/x; φо = arctg z /√ (x2+y2 ).

     В декартовій системі координат рівняння площини, яка формує сегмент на сфері планети, може бути задано у вигляді

               Ах + By + Cz + D = 0,

де А, В, С — компоненти вектора n<3>, нормальної до площини К, D ≠ 0.
     Направляючі косинуси вектора n<3>= <A,B,C>, перпендикулярного До площини, визначаються за формулами:

           cos(α) =A/N; cos(β) = B/N; cos(γ) = C/N; N = [ A2 + B2 +C2]o.5; p = D/N,

де р — відстань від початку координат до площини, причому sign(N) = -sign(D).
     Характеристикою сегмента, має в якості кордону окружність L, крім положення його центру, радіус r кола L. Цей радіус може бути визначений через радіус сфери R і відстань (р):
                r = Rζc ,      де ζc = arccos(p/R).
     Іншими словами, сегмент на сфері може бути заданий координатами точки О1(х, у,z) — центру сегмента і кутом ζc, або координатами точки О1(х, у,z) і відстанню р, або системою: рівнянням сфери і рівнянням площини К.


     Малюнок 1 Положення трас ШСЗ з кутом нахилу i великим широти верхньої точки кордону МОЗ ІП

     Площину П, що проходить через центр сфери, можна задати аналогічним чином, тобто загальним рівнянням площини
               А1х + B1y + C1z + D1 = 0.

     Очевидно, для площини П значення D1 = 0. Існує більш зручний для моделювання спосіб завдання цієї площини. У загальному випадку площину П нахилена до площини земного екватора, що збігається з координатною горизонтальною площиною хоу, під деяким кутом i, званим нахилом площини орбіти ШСЗ. Лінія перетину площин орбіти П і горизонтальній координатній площині хоу називається лінією вузлів (висхідного і низхідного) орбіти.
     Положення цієї лінії в площині екватора задається кутом λ (географічною довготою), отсчитываемым від меридіана Грінвіча. В довільний момент часу лінія вузлів орбіти деякого ШСЗ характеризується випадковим значенням кута λ. Очевидно, діапазон можливих значень λ визначається інтервалом λ ∊ [0, 2π ]. В довільний момент часу в межах цього інтервалу неможливо вказати точку, яка мала б більш високий пріоритет стосовно всіх інших бути зайнятою вузлом орбіти ШСЗ. Для цього немає ні фізичних, ні математичних, ні яких-небудь інших обґрунтувань. Отже, будемо вважати імовірнісний розподіл випадкового значення довготи λ для лінії вузлів орбіти в інтервалі [0, 2π] рівномірним.
     Кут нахилу i площини орбіти до площини екватора будемо вважати невипадковим. У такій ситуації для площини П(i, λ ) зручніше використовувати її подання через ці кути, у вигляді:
           x•tgλ — y + z•ctgi/cosλ = 0.
     Кожному випадковому положення в просторі площини орбіти ШСЗ П(i, λ ) буде відповідати одне з можливих значень випадкової величини λ.

          Проходження супутником зони наземного вимірювального пункту

     Практичний інтерес для проектувальника супутникової системи полягає в оцінюванні можливості проведення сеансу зв'язку ШСЗ і ІП на кожному витку траєкторії.
     Позначимо символом ℬ випадкове складна подія, яке у тому, що при довільному значенні величини довготи λ площину П(i, λ), що проходить через центр сфери планети, перетне сегмент, обмежений колом L з центром на радіус-вектор точки О1(х, у,z). Таким чином, у цій частині роботи завдання полягає у визначенні ймовірності настання випадкової події ℬ. Визначення ймовірності будемо виконувати за умови, що λ приймає одне із своїх можливих значень. Ясно, що накладається умова виконується завжди. Методи теорії ймовірностей дозволяють визначати ймовірності одних подій (складних) через відомі ймовірності інших подій, певним чином пов'язаних з ними, та ймовірності яких задані або можуть бути визначені тим чи іншим способом.

     Виконаємо аналіз можливостей реалізації події ℬ. Малюнок 1 ілюструє геометрію різних ситуацій з розглянутими раніше об'єктами, що сприяють настанню модельованого випадкової події ℬ і показує умови неможливість його настання.
     На рисунку 1 зображена верхня півсфера планети і на ній проведені дуги великих і малих кіл. Замкнута крива МNN1M1 являє собою кордон МОЗ сегмента (окружність L ). Положення центру сегмента О1(х, у,z) характеризується широтным φо кутом і долготным кутом λо. Положення площини П(i, λ) задається кутом нахилу i до площини екватора, який детермінований і не змінюється в процесі моделювання.

     Аналіз можливих ситуацій для випадкової події ℬ.

      Будемо розрізняти ситуації, що призводять до різним функціональним залежностям, породжує складне випадкова подія ℬ:
      Перша ситуація φо+ rm ≤ i. Є чотири положення дуг великих кіл АNN2,BM1M2,CMB1,DN1A1, утворених перетином сфери площиною П(i, λ) при чотирьох значеннях λ, що відповідають таким положенням площині, при яких вона стосується межі сегмента (окружності L) в чотирьох точках N,M1, N1, M. Дуга КО1К1 утворена перетином сфери площиною, перпендикулярній площині хоу в меридіанному перерізі і що проходить через вісь оz і точку О1.
     В перерізі сфери площиною екватора планети хоу показані лінії вузлів названих вище площин.
     Показано також кути:
— u1, u2 — між лініями вузлів і напрямками в точки дотику кола L, вимірювані дугами АN і ВМ1 відповідно;
— φ1, φ2 — між радіусом-вектором центру сегмента і напрямками в точки перетину великих кіл, вимірювані дугами О1Е і О1F в меридіанному перерізі;
— i — кут нахилу площини П(i, λ) до площини хоу.


     Малюнок 2 Положення трас ШСЗ з кутом нахилу i меншим широти верхньої точки кордону МОЗ ІП

     Друга ситуація φо — rm ≤ i ≤ φо+ rm. Нижче на рисунку 2 зображені два положення площини П(i, λ) при двох значеннях λ, відповідних її торкання окружності L в точках М і М1.
     На основі аналізу малюнків можна зробити висновок про те, що реалізації випадкової події ℬ буде відповідати потрапляння вузлової точки площини П(i, λ) у два інтервали АВ і СD екваторіального кола на верхньому рисунку 1 і в один інтервал СВ на нижньому малюнку 2.
     Верхньому малюнку відповідає інтервал зміни кута i нахилу площини
          φо + ζc ≤ i ≤ π — φо — ζc,      
     нижньому малюнку      - φо — ζc ≤ i ≤ φо + ζc.
     Назвемо інтервали АВ і СD (на нижньому малюнку СВ) інтервалами потрапляння площині П(i, λ) в сегмент або, коротше, інтервалами потрапляння. Для кожного фіксованого положення та розміру ζc сегмента і кута i нахилу площини П(i, λ) існують однозначно визначаються інтервали попадання. Положення, розміри, число інтервалів потрапляння залежать від кута i, координат центру сегмента (φо, λо) і радіуса ζc сегмента.
     З виконаного аналізу випливає, що випадкова подія ℬ складне і може бути представлене через прості випадкові події, які полягають у тому, що випадкове значення λ буде належати інтервалам АВ і СD для ситуації малюнка верхнього і інтервалу СВ — для ситуації нижнього малюнка.
     Третя ситуація φо — rm > i. Ця ситуація в роботі не розглядається, так як не відповідає настання випадкової події ℬ. Площина руху ШСЗ нахилена настільки низько над екватором, що МОЗ об'єктів перетнутися з нею не можуть.

     Подання складного випадкової події ℬ простими випадковими подіями.

     Введемо позначення ℬ1 = (λ∊ﺭАВ) і ℬ2 = (λ∊ﺭСD), тоді ℬ = ℬ1+ ℬ2. Події ℬ1 і ℬ2 несумісні і, отже, за умови, що відомий закон розподілу довготи вузла λ, буде виконуватися співвідношення Р(ℬ) = Р(ℬ1)+ (ℬ2).
     Нехай імовірнісний розподіл випадкової величини λ по великому колу в площині хоу, тобто в інтервалі [0, 2π], задано деякої неперервної функції довготи сайту — щільністю розподілу ймовірностей

φλ(λ) = dFλ(λ)/dλ, де Fλ(λ) -функція розподілу λ.

Якщо на числовій осі λ відзначені дві дуги граничними точками А, В і С, D, то ймовірність попадання λ на інтервали дуг АВ і СD описується як

      Р(ℬ1)=∫φλ(λ)dλ; Р(ℬ2)=∫φλ(λ)dλ визначається інтегралами у цих визначених межах, отже,
      Р(ℬ)=∫φλ(λ)dλ + ∫φλ(λ)dλ, де значення меж інтегрування поки не визначені. Таким чином, для визначення ймовірностей Р(ℬ) необхідно отримати вирази для меж інтервалів, що характеризуються довжинами дуг λj, j = 1(1)4. Раніше зазначалося, що λj = λj(R, φо, λо, i, ζc ), j = 1(1)4. Знайдемо в явному вигляді вирази для довжин інтервалів попадання.
Звернемося до аналізу малюнка 1. З його розгляду можна записати (використовуємо позначення для дуги ﺭДД):
          λ1 = λА = λо — ﺭАК; λ2= λВ = λо — ﺭВК; λ3 = λС = λо — π + ﺭВК; λ4 = λD = λо — π + ﺭАК.

          Співвідношення для виконання чисельних розрахунків

     Скористаємося теоремами сферичної тригонометрії і отримаємо розрахункові формули для необхідних змінних.
     Тут з прямокутних сферичних трикутників АЕК і ВFК визначаються дуги:
           ﺭАК = arcsin(tg (φо+ φ1)/tgi); ﺭ ВК = arcsin(tg (φо — φ2)/tgi).
Невідомі величини φ2, φ1, λj = λj(R, φо, λо, i, ζc ), j = 1(1)4 будемо визначати через відомі φо, i, ζc.

      З сферичного трикутника NEO1 за теоремою синусів можемо записати співвідношення
            sin ζc /sind = sin φ1 /sin90°, де кут d =ےNEO1, співвідношення отримуємо       sind = sin ζc /sin φ1.
      За теоремою косинусів з сферичного трикутника АЕК записуємо співвідношення
           cosi = sindcos(φо+ φ1), з якого для sind отримаємо ще одну залежність sind =cosi / cos(φо+ φ1).
Знайдені різним шляхом дві залежності прирівнюємо і виконуємо перетворення (переносимо вліво функції зі змінною φ1)
            sin ζc /sin φ1 = cosi / cos(φо+ φ1) або cos(φо+ φ1)/ sin φ1 = cosi / sin ζc.
      В останньому виразі невідомою є єдина змінна φ1, яку вдалося зв'язати через відомі величини, що дозволяє виконати перетворення та привести до виду зручному для її обчислення
cos(φо+ φ1)/ sin φ1 = cos φоctg φ1 — sin φо і далі cos φоctg φ1 — sin φо= cosi /sin ζc звідки
ctg φ1 =( cosi /sin ζc + sinφо )/ cosφо і остаточно,
φ1 = arctg(cos φо sin ζc /(cosi + sinφоsin ζc)).
За аналогією, розглядаючи сферичні трикутники ОМF і BFK, отримуємо значення
φ2 = arctg(cos φо sin ζc /(cosi — sinφоsin ζc)).

      Підставляючи отримані значення φ1 і φ2 у співвідношення для довготи λj, j = 1(1)4, можемо записати
      λ1 = λА = λо — arcsin(tg(φо + arctg(cos φо sin ζc /(cosi + sinφоsin ζc))) /tgi);
      λ2 = λB = λо — arcsin(tg(φо — arctg(cos φо sin ζc /(cosi — sinφоsin ζc))) /tgi);
      λ3 = λC = λо — π + arcsin(tg(φо — arctg(cos φо sin ζc /(cosi — sinφоsin ζc))) /tgi);
      λ4 = λD = λо — π + arcsin(tg(φо + arctg(cos φо sin ζc /(cosi + sinφоsin ζc))) /tgi).
      Таким чином, усі необхідні дані для розрахунку ймовірності Р(ℬ) визначені.

      Розглянемо приклад. У додатках приймається, що закон розподілу довготи λj рівномірний інтервалі [0, 2π]. При цьому допущенні функція розподілу Fλ(λ)і щільність розподілу φλ(λ) випадкової змінної λ записуються у вигляді, зображеному під малюнком 3:

      Числові характеристики цих законів розподілу визначаються з виразів: математичне сподівання m(λ) = π; середнє квадратичне відхилення сигма (λ) = π / √3; дисперсія D(λ) = π2 /3. Для цього випадку ймовірність попадання ШСЗ в зону обслуговування ІП запишеться у вигляді (з урахуванням відповідних меж інтегрування і підсумовування)

     Р(ℬ)=∫φλ(λ)dλ +∫φλ(λ)dλ =1/2π ∑|λ2j — λ2j-1|, j = 1,2.

      Підставляючи в останнє співвідношення значення знайдених меж інтегрування і знайдені вирази λj, отримаємо остаточний вираз для ймовірності попадання ШСЗ в зону вимірювального пункту

            Р(ℬ) = 1/π ∑(-1)k arcsin(tg(φо -(-1)k arctg(cos φо sin ζc /(cosi -(-1)k sinφоsin ζc))) /tgi), k = 1,2.

      Це співвідношення дозволяє перейти від факту проходження супутником через зону обслуговування наземного пункту до вирішення завдання визначення часу перебування ШСЗ в зоні пункту в залежності від числових характеристик руху системи (положення довготи висхідного вузла орбіти на витку потрапляння в зону ІП). Ця частина роботи автором планується до публікації найближчим часом.

Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.