Гарантії отримання коректного результату при розрахунку динамічних систем

Прочитавши статтю «Динамічна система Лоренца і обчислювальний експеримент» , перевірив розрахунки за допомогою аналітично-чисельного методу [1].
 
Результати розрахунку на фазовій площині z (x):
 
 
І y (x):
 
 
Здається, що криві замкнуті, але давайте розглянемо результат детальніше.
 
 Коротко про використаний методі розрахунку Аналітично-чисельний метод належить до самостартующім безперервним методам змінного порядку з адаптивною процедурою вибору кроку і з контролем рівнів граничних абсолютних локальної та повної похибок розрахунку.
Застосовується для розв'язання звичайних нелінійних неавтономних нестаціонарних інтегродиференціальних рівнянь, що описують динамічні моделі систем при детермінованих впливах.
При розрахунку регулярна складова шуканого рішення представляється у формі ряду Тейлора.
 
Результатом застосування аналітично-чисельного методу при вирішенні систем ОДУ, що описують модель динамічної системи, є не тільки наближені рішення а й області, гарантовано містять точні рішення.
Тобто, крім самого чисельного значення наближеного рішення в результаті виходять і верхні оцінки граничної повної похибки розрахунку на кожному кроці розрахунку:
 
 
 
де — наближене рішення (i-я фазова координата);
   — невідоме точне рішення;
   — верхня оцінка граничної повної похибки розрахунку наближеного рішення;
 
 
Взявши параметри для розрахунку зі статті «Динамічна система Лоренца і обчислювальний експеримент» :
Предковічних умови, параметри динамічної системи, точність математичних операцій — 180 знаків після коми, точність по статечному ряду 1e-9, отримаємо наступний результат в точці t = 6.827:
 
 
 
 
 
Значення похідних:
 
 
 
Нескладно бачити, що результати розрахунків дещо відрізняються від викладених в статті.
Крім того, якщо підставити результат зі статті (знайдені наближені значення рішень) у вихідну систему рівнянь, то отримаємо значення похідних також відрізняються від зазначених в статті:
 
 
 
Зазначу, що підвищення точності розрахунків (кількість врахованих знаків після коми і точність за степеневим ряду) призводить лише до звуження області, що містить точні рішення. Наприклад, при завданні точності 1e-55, область в точці t = 6.827 звужується до .
 
Далі, я вирішив продовжити розрахунок до точки t = 12.827 і розглянути графік результатів розрахунку на фазових площинах z (x):
 
 
 
І y (x):
 
 
 
На графіках чітко видно що криві не замкнуті. Якщо бути ще точніше, вони і на перших графіках не замкнуті, просто масштаб, в якому відображені фазові траєкторії, не дозволяє увидет точку разомкнутости.
 
Таким чином, не можна говорити ні про яке повернення траєкторії в околицю початкової точки — про це йдеться в статті. А робити висновки на основі розрахунків необхідно завжди з оглядкою на похибку обчислень (як методичну так і обчислювальну).
 
Література:
1. Бичков Ю., Щербаков С. Аналітично-чисельний метод розрахунку динамічних систем. — Санкт-Петербург: Вища школа, 2001.

Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.