Геометрія кубічних рівнянь. Лекція Сергія Львівського в Яндексі

  Ще зі шкільного курсу алгебри всі знають, як визначити кількість коренів в квадратному рівнянні. Виявляється, на аналогічне питання про кубічному рівнянні найпростіше відповісти, перейшовши від алгебри до геометрії, а вирішувати саме рівняння для цього зовсім не обов'язково. Важлива геометрична конструкція, про яку піде мова на лекції, використовується в математиці і для інших цілей.
 
 
 
Почнемо ми здалеку, з квадратних рівнянь. Візьмемо просте рівняння: x 2 + px + q = 0. Тепер визначимо, скільки у нього коренів залежно від p та q. Два кореня у нас буде в тому випадку, якщо p 2 -4q> 0. Якщо ж p 2 -4q <0, то у нашого рівняння буде 0 коренів. Ну і в проміжному варіанті p 2 -4q = 0 буде один корінь.
 
Тепер розглянемо подібне кубічне рівняння: x 3 + ax 2 + bx + c = 0. І поставимо таке ж питання: скільки коренів буде у рівняння, в залежності від a, b і c. Формула для коренів кубічного рівняння була відкрита ще в XVI столітті, проте зрозуміти з її допомогою, скільки у рівняння може бути коренів, досить важко, і сьогодні ми їй користуватися не будемо. Ми постараємося дізнатися, скільки у рівняння коренів, формули для них не знаходячи.
 
Перш ніж починати, зробимо пару простих зауважень:
 
 
     
  • Корній не більш трьох, так як у будь-якого рівняння ступеня n, коренів може бути не більше, ніж n.
  •  
  • Жодного кореня у нас бути не може, тому що якщо x >> 0 (дуже велике позитивне число, то ліва частина буде більше нуля.
  •  
  • Відповідно, нам належить з'ясувати: одне у нас може бути рішення, два або три.
  •  
Тепер трохи спростимо задачу. Проведемо невелике алгебраїчне перетворення. Нехай x = y + e. Тоді у нас виходить наступне рівняння: (y + e) ​​3 + a (y + e) ​​(sup> 2 + b (y + e) ​​+ c = 0. Наведемо подібні. У лівій частині у нас вийде многочлен від y з коефіцієнтами: y 3 + (3e + a) y 2 + (...) y + (...) = 0. Якщо 3e + a = 0, тобто e =-a / 3, то рівняння приймає наступний вид: y 3 + p + q = 0, де p і q виражаються через a, b і c. C урахуванням того, що ми виробили всього лише зрушення, кількість коренів у вихідного та зрушеного рівнянь буде однаково.
 
Отже, ми досліджуємо таке рівняння: x 3 + px + q = 0. Завдання у нас залишається колишньою: зрозуміти, скільки коренів може бути у цього рівняння для кожної пари p і q. Як відомо, пари чисел — це точки на площині. Розглянь площину з координатами p і q. Для кожного x розглянемо таку пряму з рівнянням x 3 + px + q = 0 на цій площині. Якщо x = 0, у нас буде пряма, що проходить прямо осі p. Якщо x = 1, то p + q = -1. Якщо x = -1, то q = p +1. Якщо x = 1/2, то q = 1/8 + p / 2.
 
 image
 
Прямі ми будували не просто так. Число коренів нашого рівняння дорівнює числу наших прямих, що проходять через точку (p; q). Тепер у нас на площині є сімейство прямих, що залежать від одного параметра — x. І завдання полягає в тому, щоб дізнатися, скільки прямих з цього сімейства проходить через дану точку.
 
 

Двоїстість

Розглянемо площину з координатами p і q. Будь невертикальною пряма на ній задається рівнянням q + kp + b = 0. Значить, безліч невертикальною прямих — це безліч пар k і b.
 
 image
 
Але безліч пар k і b — це теж площину, звана двоїстої до площини (p, q).
 
 image
 
Якщо у нас є площину (k, b), то на ній можна накреслити і прямі. Але що це будуть за прямі? Якщо точки на цій площині у нас є прямими на площині (p, q), а пряма — це сукупність точок, то прямі на площині (k, b) являють собою безліч прямих на площині (p, q). Складемо рівняння: q + kp + b = 0. Це означає, що пряма на площині (k, b) — це сукупне безліч всіх прямих, що проходять через точку (p; q) на площині (p, q). З цього випливає, що точки в площині (p, q) відповідають прямим у площині (k, b).
 
Нехай у нас є дві точки a і b в площині (k, b). Через них можна провести пряму. На площині (p, q) цим точкам відповідають прямі. А прямої, що проходить через точки a і b відповідає точка на площині (p, q), що знаходиться на перетині прямих, відповідних точкам a і b на площині (k, b).
 
Додивившись лекцію до кінця, ви дізнаєтеся, як будуються двоїсті криві, а також як завдяки цьому завдання про коріння кубічного рівняння вирішується методами геометрії.
  
Джерело: Хабрахабр

0 коментарів

Тільки зареєстровані та авторизовані користувачі можуть залишати коментарі.